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Chapitre Introduction
Table des matières
Chapitre Introduction
Modèle et abstraction
Algèbre vectorielle
Géométrie
Ce texte
1 Introduction aux espaces vectoriels (I)
1.1 Préambule
1.2 Les axiomes
1.3 Exemples
1.4 Combinaisons linéaires, bases et dimension
1.4.1 Combinaisons linéaires
1.4.2 Bases
1.4.3 Composantes
1.4.4 Changement de bases
1.5 Sous-espaces vectoriels
1.5.1 Définition
1.5.2 Exemples
1.5.3 Equations paramétriques
1.5.4 Equations cartésiennes
1.5.4.1 Les hyperplans vectoriels
1.5.5 Cas de la dimension
1.5.6 Cas de la dimension
2 Géométrie affine
2.1 Préambule
2.2 Espaces affines
2.2.1 Définition
2.2.2 Exemple
2.2.3 Vecteurs liés
2.3 Combinaisons affines
2.3.0.1 Centre de masse
2.3.1 Combinaisons affines
2.3.2 Droites et segments
2.3.3 Mesure des segments
2.3.4 Rapport de section
2.3.5 Calcul des barycentres
2.4 Variétés affines
2.4.1 Deux axiomes d'Euclide
2.4.2 Variétés affines
2.4.3 Direction
2.4.4 Positions relatives de droites et plans
2.5 Quelques standards
2.5.1 Le théorème de Thalès
2.5.1.1 Projection centrale
2.5.1.2 Le théorème de Thalès
2.5.2 Invariance du rapport de section
2.5.3 Le théorème de Menelaüs
2.5.4 Le théorème de Ceva
2.6 Repères et coordonnées
2.6.0.1 Définitions
2.7 Equations paramétriques et cartésiennes
2.7.1 Equations paramétriques
2.7.2 Equations cartésiennes
2.7.3 En dimension 2
2.7.4 En dimension 3
2.8 Le théorème de Desargues
2.8.1 La version ``aménagée"
2.8.2 Formulation classique
3 Introduction aux espaces vectoriels (II)
3.1 Préambule
3.2 Produit scalaire, longueur et angle
3.2.1 Produit scalaire
3.2.2 Longueur et angle
3.2.2.1 Longueur
3.2.2.2 Angle de deux vecteurs
3.2.3 Bases orthonormées
3.2.4 Complément orthogonal
3.3 Orientation, en dimensions 2 et 3
3.3.1 Définition
3.3.2 Orientation d'un plan
3.3.2.1 Angles à côtés perpendiculaires
3.3.3 Orientation en dimension
3.3.3.1 Produit mixte
3.3.3.2 Produit vectoriel
4 Géométrie Euclidienne
4.1 Préambule
4.2 Espace affine Euclidien
4.3 Angles
4.3.0.1 Angle de deux droites
4.3.0.2 Angle d'une droite et d'un hyperplan, de deux hyperplans
4.3.0.3 Perpendicularité
4.4 Distance
4.4.1 Distance entre deux points
4.4.1.1 Théorème de Pythagore
4.4.1.2 Formules des triangles rectangles
4.4.2 Distance entre variétés affines
4.4.2.1 Distance d'un point à un hyperplan
4.4.2.2 Distance d'un point à une droite
4.4.2.3 Distance de deux droites gauches
4.4.2.4 Projection orthogonale d'un angle
4.4.3 Sphère
4.4.3.1 Coordonnées polaires et sphériques
4.4.4 Les formules d'Appolonius
4.5 Longueurs, aires et volumes
5 Applications affines et isométries
5.1 Préambule
5.2 Applications affines
5.2.1 Définition
5.2.2 Caractérisation
5.3 Isométries
5.3.1 Définition
5.3.2 Rotations
5.3.2.1 Rotations planes
5.3.2.2 Rotations spatiales
6 Courbes
6.1 Préambule
6.2 Continuité, dérivabilité, etc.
6.2.1 Gradient d'une fonction à valeurs dans
6.2.2 Dérivée des fonctions à valeurs dans
6.2.2.1 Cas d'un seul paramètre
6.3 Arcs réguliers de courbe
6.3.0.1 Mouvement d'un point matériel
6.3.1 Arc de courbe paramétré
6.3.1.1 Paramétrages
6.3.1.2 Arc de courbe paramétré
6.3.1.3 Tangente
6.3.1.4 Orientation
6.3.1.5 Paramétrages naturels Ñ Longueur d'arc
6.3.1.6 Courbe régulière par morceaux
6.3.2 Le trièdre de Frenet
6.3.2.1 Tangente, normale principale et binormale
6.3.2.2 Calculs de la courbure et de la torsion
6.4 Courbes planes
6.4.1 Graphe de fonction
6.4.2 Equation cartésienne
6.4.2.1 Equation de la tangente
6.4.2.2 Expression de la courbure
6.4.3 Les courbes du second degré
6.4.3.1 Les coniques proprement dites
6.4.3.2 Classification des courbes du second degré
7 Surfaces
7.1 Préambule
7.2 Paramétrage - Portion régulière de surface
7.2.0.1 Paramétrage
7.2.0.2 Portion régulière de surface
7.2.0.3 Paramétrages équivalents
7.3 Equation cartésienne - Surface
7.3.0.1 Exemples
7.4 Plan tangent, orientation et normale
7.4.0.1 Plan tangent
7.4.0.2 Orientation et normale
7.5 Les formes fondamentales
7.5.1 La première forme fondamentale
7.5.2 La seconde forme fondamentale
7.5.2.1 Expression de
7.5.2.2 Expression de
7.5.3 Le théorème de Meusnier
7.6 La courbure normale
7.7 Les surfaces du second degré
7.7.0.1 Réduction et classification
7.8 Surfaces réglées
7.8.0.1 Direction limite des plans tangents à une génératrice
7.8.0.2 Position des plans tangents le long d'une génératrice non cylindrique
Liste des figures
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2002-12-17
