6.3.2 Le trièdre de Frenet

Soient un arc paramétré de courbe $\Gamma$ et un de ses paramétrage $(I,\gamma)$. Le développement de Taylor en $t_0$

$$\gamma(t)=\gamma_0+(t-t_0)\gamma'_0+\frac{1}{2}(t-t_0)^2\gamma''_0+\frac{1}{6}(t-t_0)^3\gamma'''_0+ \cdots$$

Figure: Développement de Taylor en $t_0$.

de $\gamma$ (l'indice 0 signale que les fonctions sont évaluées en $t_0$) fournit différentes approximations de $\Gamma$, aux ordres $1$, $2$, etc. A l'ordre $1$, par exemple, $\Gamma$ est confondu avec sa tangente en $\gamma_0$. A l'ordre deux, il est approché par une courbe du second degré située dans un plan passant par $\gamma_0$ et parallèle à $\gamma'_0$ et $\gamma''_0$. En général, les vecteurs $\gamma'_0$, $\gamma''_0$ et $\gamma'''_0$ sont linéairement indépendants (^6.5) et fournissent une base de $\overrightarrow{{\mathcal E}}$.

L'idée du trièdre de Frenet est d'exploiter cette base (rendue orthonormée) dans le cas d'un paramétrage naturel afin de décoder l'information géométrique contenue dans ces approximations.