7.3 Equation cartésienne - Surface

En éliminant les paramètres $u$ et $v$ des composantes $\varphi_i$ d'un paramétrage $(U,\varphi)$, on arrive parfois à exprimer la condition nécessaire et suffisante pour qu'un point $X$ de ${\mathcal E}$ appartienne à la portion régulière de surface $\varphi(U)$ sous la forme d'une équation $F(X)=0$. Celle-ci n'est éventuellement définie que dans une partie de ${\mathcal E}$, le plus souvent un ouvert $\Omega$. On démontre de plus en analyse qu'il est possible de faire en sorte que $F$ soit de classe $C_{p}$ dans $\Omega$ et que son gradient ne s'y annule pas.

Inversement, si $F:\Omega\to{\rm I\!R}$ est de classe $C_{p}$ et si $grad_{X}F$ ne s'annule en aucun point de $\Omega$, alors l'ensemble des zéros de $F$ est Ñ localement Ñ une portion régulière de surface. Plus précisément, si la dérivée partielle de $F$ par rapport à une des coordonnées n'est pas nulle en un point, il peut être paramétré par les deux autres au voisinage de ce point. En outre, les paramétrages de $\{X\in \Omega:F(X)=0\}$ sont toujours équivalents dans les ouverts correspondants aux points qu'ils décrivent simultanément.

Figure 6: Surface.

Nous dirons que $\{X\in \Omega:F(X)=0\}$ est une surface et que $F$ en est une équation cartésienne dans $\Omega$(^7.1).