7.5.1 La première forme fondamentale

En restreignant le produit scalaire de $\overrightarrow{{\mathcal E}}$ à $\overrightarrow{T_{P}S}$, on obtient un produit scalaire $g_{P}$ de $\overrightarrow{T_{P}S}$. Par définition, on a donc

$$g_{P}({\bf h},{\bf k})={\bf h}.{\bf k}.$$

On l'appelle la première forme fondamentale de $S$ en $P$. Dans la base $(\partial_{u_{0}}\varphi,\partial_{v_{0}}\varphi)$, elle est complètement déterminée par les nombres

$$% latex2html id marker 36285\begin{array}{ccccc} A & = & ... ...\varphi)&=&\vert \partial_{v_{0}}\varphi\vert^{2} \end{array}$$

Donc, si ${\bf h}\in\overrightarrow{T_{P}S}$, alors

$$\vert {\bf h}\vert^{2}=Aa^{2}+2Bab+Cb^{2},$$

où $a,b$ sont ses composantes dans la base $(\partial_{u_{0}}\varphi,\partial_{v_{0}}\varphi)$.