1.5.3 Equations paramétriques

Un lemme aisé va nous permettre de montrer que tous les sous-espaces vectoriels de $E$ ont des équations paramétriques.

Lemme 1.5.7   Si ${\bf u}_1,\ldots,{\bf u}_k \in E$ sont tels que ${\bf u}_1\ne {\bf0}$ et

$${\bf u}_i \notin >{\bf u}_1, \ldots ,{\bf u}_{i-1}<_l, \ i=2,\ldots,k,$$

alors ils sont linéairement indépendants.

Preuve. On procède par récurrence sur $k$ . Pour $k=1$, ${\bf u}_1$ est linéairement indépendant car il n'est pas nul. Passons de $k$ à $k+1$. Supposons que

$$\alpha_1{\bf u}_1+ \cdots +\alpha_{k+1}{\bf u}_{k+1}={\bf0}.$$

Si $\alpha_{k+1} \ne 0$, alors

$${\bf u}_{k+1}=-\frac {\alpha_1}{\alp... ...-\frac {\alpha_k}{\alpha_{k+1}}{\bf u}_k \in >{\bf u}_1, \ldots ,{\bf u}_k<_l.$$

Donc $\alpha_{k+1}=0$ et il reste

$$\alpha_1{\bf u}_1+ \cdots +\alpha_k{\bf u}_k={\bf0}.$$

En appliquant l'hypothèse de récurrence, on en déduit que les autres $\alpha_i$ sont nuls .$\qed$

Figure 1: On choisit ${\bf u}_1$, ${\bf u}_2$, ... dans $V$ tant que c'est possible.

Proposition 1.5.8   Soit un sous-espace vectoriel $V$ de $E$.

(i)L'espace $V$ est de dimension finie, $dim \ V \le dim \ E$ et $V=E$ si et seulement si $dim \ V = dim \ E$.

(ii)Toute base de $V$ est contenue dans une base de $E$.

Preuve. (i) On construit de proche en proche des vecteurs ${\bf e}_1\ne {\bf0}$, ${\bf e}_2 \notin >{\bf e}_1<_l$, ... , ${\bf e}_n \notin >{\bf e}_1, \ldots ,{\bf e}_{n-1}<_l$ tant que c'est possible, en choisissant les premiers dans $V$. A cause du lemme ci-dessus, ils sont linéairement indépendants. Vu le Théorème 4.2, il y en a au plus $dim \ E$. En fait, il y en a exactement $dim \ E$ car s'il y en avait moins, alors

$$>{\bf e}_1, \ldots ,{\bf e}_n<_l \ \ne E$$

et l'on pourrait en choisir un de plus. Donc $({\bf e}_1, \ldots ,{\bf e}_n)$ est une base de $E$. Semblablement, si $p$ est le numéro du dernier ${\bf e}_i$ que l'on a pu choisir dans $V$, alors

$$V = \ >{\bf e}_1, \ldots ,{\bf e}_p<_l$$

(éventuellement, $V={\bf0}$ et alors $p=0$, par convention). Par conséquent, la dimension de $V$ est $p$ et $V=E$ si et seulement si $p=n$.

(ii) Si $({\bf u}_1, \ldots ,{\bf u}_p)$ est une base de $V$, alors, dans la construction (i) ci-dessus, on peut prendre

$${\bf e}_1={\bf u}_1, \ldots , {\bf e}_p={\bf u}_p$$

car, en effet, dans une base, aucun élément n'est combinaison linéaire des autres (Proposition 4.1).$\qed$

Soient un sous-espace vectoriel $V$ de $E$ et une base $({\bf u}_1, \ldots ,{\bf u}_p)$ de $V$. Les éléments de $V$ sont donc exactement les ${\bf x}\in E$ de la forme

$${\bf x}=\lambda_1{\bf u}_1+ \cdots +\lambda_p{\bf u}_p, \ \ \lambda_1, \ldots , \lambda_p \in {\rm I\!R}.$$

Cette relation est une équation paramétrique (vectorielle) de $V$. Le fait que les ${\bf u}_i$ sont linéairement indépendants garantit l'unicité des paramètres $\lambda_1, \ldots , \lambda_p$ décrivant ${\bf x}$.

Exprimée à l'aide des composantes

$$% latex2html id marker 28271\begin{array}{rcl} {\bf x}_{\m... ...\bf u}_i)_{\mathcal B} &=& (u_{i1}, \ldots ,u_{in}) \end{array}$$

de ${\bf x}$ et des ${\bf u}_i$ dans une base ${\mathcal B}=({\bf e}_1, \ldots , {\bf e}_n)$ de $E$, l'équation paramétrique vectorielle de $V$ considérée se traduit par $n$ équations paramétriques ``scalaires":

$$% latex2html id marker 28285\left \{ \begin{array}{rcl} x_... ...=&\lambda_1u_{1n} + \cdots +\lambda_pu_{pn} \end{array}\right.$$

Dans un espace vectoriel de dimension $n$, les sous-espaces vectoriels de dimension $1$, $2$ et $n-1$ s'appellent droites, plans et hyperplans vectoriels respectivement.

Une droite vectorielle est donc l'ensemble des multiples $\lambda {\bf u}, \ \lambda \in {\rm I\!R}$, d'un quelconque de ses éléments non nul ${\bf u}$ et un plan vectoriel est l'ensemble des combinaisons $\lambda {\bf u}+\mu {\bf v},\ \lambda, \mu \in {\rm I\!R}$, de deux de ses éléments ${\bf u}$ et ${\bf v}$ dont aucun n'est multiple de l'autre.