6.3.1.2 Arc de courbe paramétré

Un arc de courbe paramétré $\Gamma$ est l'image $\gamma(I)$ d'un paramétrage $(I,\gamma)$. Celui-ci et ceux qui lui sont équivalents sont les paramétrages de $\Gamma$.

Remarque 6.3.2   Dans la littérature, un point $t$ en lequel ${\frac{d{\gamma}}{dt}}$ n'est pas nul est dit régulier. Il serait singulier sinon. Les arcs de courbe considérés ici sont également dits réguliers parce que leurs points le sont tous.

Voici quelques exemples.

• Les droites de ${\mathcal E}$ sont des arcs de courbe paramétrés. La droite passant par $A$ et dont ${\bf u}$ est un vecteur-directeur admet le paramétrage $({\rm I\!R},t\mapsto A+t{\bf u})$

• Les cercles d'un plan sont des arcs paramétrés de courbe. Par exemple, dans un repère orthonormé d'origine $C$, le cercle de centre $C$ et de rayon r admet en effet le paramétrage donné en composantes par

  $$r\ (\cos\frac{s}{r},\ \sin\frac{s}{r}), \ s\in\lbrack0,2\pi r\rbrack.$$ (6.1)

  
  

• En dimension trois, une hélice circulaire droite est donnée par un paramétrage de la forme

  $$t\mapsto r\cos t\ {\bf u}+r\sin t\ {\bf v}+ht\ {\bf u}\wedge{\bf v}, \ t\in{\rm I\!R},$$ (6.2)

  
  
  où ${\bf u}$ et ${\bf v}$ sont deux vecteurs normés et orthogonaux, et $h>0$ est le pas de l'hélice.

Figure: Hélice circulaire droite.