3.2.2.2 Angle de deux vecteurs

Le nombre $\frac{{\bf u}.{\bf v}}{\vert{\bf u}\vert\vert{\bf v}\vert}$ est donc compris entre $-1$ et $1$ (on suppose que ${\bf u}$ et ${\bf v}$ ne sont pas nuls). Par conséquent, il existe un angle $\varphi\in\lbrack0,\pi\rbrack$ dont c'est le cosinus. C'est l'angle (non orienté) entre ${\bf u}$ et ${\bf v}$. Ainsi, par définition de celui-ci,

$${\bf u}.{\bf v}=\vert{\bf u}\vert\vert{\bf v}\vert\cos \varphi.$$ (3.2)

Figure: Angle non orienté.

En particulier, des vecteurs ${\bf u}$ et ${\bf v}$ sont dits orthogonaux ou perpendiculaires si ${\bf u}.{\bf v}=0$ car alors, s'ils ne sont pas nuls, ils forment un angle droit. On note ${\bf u} \perp {\bf v}$ le fait que ${\bf u}$ et ${\bf v}$ sont orhogonaux. Ayant en mémoire les formules des triangles rectangles(^3.2), on peut interpréter la relation précédente en disant que ${\bf u}.{\bf v}$ est le produit de la longueur de ${\bf v}$ et de la mesure algébrique de la projection orthogonale de ${\bf u}$ sur ${\bf v}$. Dans le même registre, la quantité calculée en (15) vaut

$$\vert{\bf u}\vert^2\vert{\bf v}\vert^2\sin^2{\varphi}$$

qui est le carré de l'aire du ``parallélogramme" déterminé par les vecteurs ${\bf u}$ et ${\bf v}$.