2.2.3 Vecteurs liés

Soit un point $S$ de ${\mathcal E}$. Les vecteurs liés en $S$ sont les couples $(S,A)$, $A \in {\mathcal E}$. La correspondance $(S,A)\mapsto \overrightarrow{SA}$ est manifestement une bijection entre l'ensemble ${\mathcal E}_S$ des vecteurs liés en $S$ et $\overrightarrow{{\mathcal E}}$. Par conséquent, ${\mathcal E}_S$ est un espace vectoriel pour les opérations

$$% latex2html id marker 28828\begin{array}{rcl} (S,A)+(S,B)... ...\ \lambda(S,A)&=&(S,S+\lambda\overrightarrow{SA}) \end{array}$$

Dans la mesure où les éléments de $\overrightarrow{{\mathcal E}}$ représentent les translations de ${\mathcal E}$, il est légitime de dire que quatre points $A$, $B$, $C$, $D$

Figure: $ABCD$ est un parallélogramme car $B$ et $D$ sont les images de $A$ et $C$ par une même translation.

forment un parallélogramme $ABCD$ si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ (on dit alors que les éléments $(A,B)$ et $(C,D)$ de ${\mathcal E}_A$ et ${\mathcal E}_C$ sont équipollents). L'addition dans ${\mathcal E}_S$ se fait suivant la ``règle du parallélogramme". En effet, si

$$(S,A)+(S,B)=(S,C)$$

alors $SABC$ est un parallélogramme puisque

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{SA}.$$

L'origine $S$ étant fixée, les vecteurs $\overrightarrow{SA}$, $\overrightarrow{SB}$, ... sont les vecteurs-positions des points $A$, $B$, etc.

Figure: Dans ${\mathcal E}_S$, l'addition résulte de la règle du parallélogramme.