3.3.2 Orientation d'un plan

Supposons que $E$ est de dimension $2$ et qu'il est orienté. Soient une base orthonormée positive ${\mathcal B}=({\bf e}_1,{\bf e}_2)$ et ${\bf u}, {\bf v}\in E$ formant l'angle non orienté $\varphi$. Il est facile de vérifier à l'aide de la formule (16) que

$$% latex2html id marker 31127\vert{\bf u}\vert^2\vert{\bf v... ...begin{array}{cc} u_1&v_1\\ u_2&v_2 \end{array}\right \vert^2$$

où les $u_i$ et les $v_j$ sont les composantes de ${\bf u}$ et ${\bf v}$ selon ${\mathcal B}$. Donc, puisque $\varphi\in\lbrack0,\pi\rbrack$,

$$% latex2html id marker 31141\vert{\bf u}\vert\vert{\bf v}\... ...n{array}{cc} u_1&v_1\\ u_2&v_2 \end{array}\right \vert \vert$$

Ainsi, si ${\bf u}$ et ${\bf v}$ forment une base positive, on passe de ${\bf u}$ à ${\bf v}$ dans ``le sens de l'orientation" et $\varphi$ représente l'angle orienté formé par ${\bf u}$ et ${\bf v}$, car alors le déterminant figurant dans cette égalité est positif. Dans le cas contraire, il est négatif, on passe de ${\bf u}$ à ${\bf v}$ dans le ``sens opposé" à celui de l'orientation et l'angle orienté formé par ${\bf u}$ et ${\bf v}$ est $2\pi-\varphi$. L'angle orienté $\theta$ de ${\bf u}$ et ${\bf v}$ est donc univoquement déterminé par les conditions

$$\cos \theta = \frac{{\bf u}.{\bf v}}{\vert{\bf u}\vert\vert{\bf v}\vert}$$

et

$$\sin \theta = \frac{\left\vert\begin... ...1\\ u_2&v_2 \end{array}\right\vert}{\vert{\bf u}\vert\vert{\bf v}\vert}\cdot$$

Il dépend bien entendu de l'ordre de ${\bf u}$ et ${\bf v}$.

Figure: Angles orientés (sens trigonométrique).

Il y a deux orientations possible de $E$. En physique, l'une correspond au sens des aiguilles d'une montre. L'autre correspond à l'orientation conventionnelle du ``cercle trigonométrique" quand on le dessine effectivement.