1.5.5 Cas de la dimension $2$

Lorsque $E$ est de dimension $2$, les seuls sous-espaces vectoriels propres sont les droites vectorielles. Ce sont aussi des hyperplans vectoriels.

Dans une base $({\bf e}_1,{\bf e}_2)$, une droite vectorielle $V$ est donc caractérisée par une équation

$$a_1x_1+a_2x_2=0, \ (a_1,a_2)\ne {\bf0}.$$

Comme $(-a_2,a_1)$ en est une solution non nulle, ${\bf u}=-a_2{\bf e}_1+a_1{\bf e}_2$ est une base de $V$ qui admet ainsi les équations paramétriques

$$% latex2html id marker 28471\left \{ \begin{array}{lcl} x_1 &=& -\lambda a_2 \\ x_2 &=& \lambda a_1 \end{array}\right.$$

Une équation cartésienne $a_1'x_1+a_2'x_2=0, \ (a_1',a_2')\ne {\bf0}$ représente la même droite si et seulement si, avec les conventions admises plus haut,

$$\frac{a_1'}{a_1}=\frac{a_2'}{a_2}.$$

On retrouve cela en remarquant qu'elle doit être satisfaite par les composantes de ${\bf u}$.

Remarque 1.5.11   Traditionnellement, en dimension $2$, les composantes sont notées $(x,y)$ plutôt que $(x_1,x_2)$, ce qui allège d'ailleurs les écritures.