2.7.4 En dimension 3

On suppose maintenant que ${\rm dim}\ {\mathcal E}=3$.

La droite passant par $P$ de coordonnée $(p_1,p_2,p_3)$ et de vecteur-directeur ${\bf u}$ de composantes $(u_1,u_2,u_3)$ admet les équations cartésiennes

$$\frac{x_1-p_1}{u_1}=\frac{x_2-p_2}{u_2}=\frac{x_3-p_3}{u_3}$$

(ceci traduit de nouveau le fait que $\overrightarrow{PX}$ est un multiple de ${\bf u}$).

La droite $\mathcal D$ d'équations cartésiennes

$$% latex2html id marker 30450\left \{ \begin{array}{lcl} a_... ...a_3x_3+b=0\\ a_1'x_1+a_2'x_2+a_3'x_3+b'=0 \end{array}\right.$$

a pour sous-vectoriel directeur la droite vectorielle d'équations )

$$% latex2html id marker 30452\left \{ \begin{array}{lcl} a_... ...2u_2+a_3u_3=0\\ a_1'u_1+a_2'u_2+a_3'u_3=0 \end{array}\right.$$

Les vecteur-directeurs de $\mathcal D$ sont donc les vecteurs dont les composantes sont les multiples (non nuls) de (cf. Section 5.6)

$$(a_2a_3'-a_2'a_3,a_3a_1'-a_3'a_1,a_1a_2'-a_1'a_2)$$ (2.6)

formé des mineurs algébriques du tableau des coefficients des équations de $\mathcal D$. Celle-ci est parallèle au plan d'équation

$$a_1''x_1+a_2''x_2+a_3''x_3+b''=0$$

pour autant qu'un de ses vecteurs-directeurs ait des composantes solutions de l'équation homogène correspondante. Cette condition exprimée pour (14) s'écrit

$$% latex2html id marker 30462\left \vert \begin{array}{ccc... ..._1'&a_2'&a_3'\\ a_1''&a_2''&a_3'' \end{array}\right \vert =0.$$

Proposition 2.7.2   Supposons que les plans $\alpha$ et $\alpha '$ d'équations ${\bf a}(x)\equiv a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+b=0$ et ${\bf a}'(x)\equiv a_1'x_1+a_2'x_2+a_3'x_3+b'=0$ se coupent selon une droite $\mathcal D$. Les plans contenant $\mathcal D$ sont exactement les plans admettant une équation cartésienne de la forme $r{\bf a}+r'{\bf a}'=0$, où $r$ et $r'$ ne sont pas tous les deux nuls.

Preuve. Soit un plan $\alpha''$ d'équation cartésienne ${\bf a}''(x)\equiv a_1''x_1+a_2''x_2+a_3''x_3+b''=0$ contenant $\mathcal D$. Puisque $\overrightarrow{\alpha}''$ contient $\overrightarrow{\mathcal D}$, il résulte de la Proposition 5.13 qu'il existe des nombres non tous nuls $r$ et $r'$ tels que

$$(a_1'',a_2'',a_3'')=r(a_1,a_2,a_3)+r'(a_1',a_2',a_3').$$

En exprimant que $\alpha''$ passe par un point de $\mathcal D$, on vérifie comme dans la preuve de la Proposition 7.1 que $b''=rb+r'b'$.$\qed$

Corollaire 2.7.3   Le plan passant par la droite $\mathcal D$ d'équations cartésiennes ${\bf a}(x)=0$, ${\bf a}'(x)=0$ et par le point $P$ non situé sur $\mathcal D$ de coordonnée $\bf p$ admet l'équation cartésienne

$${\bf a}({\bf p}){\bf a}'(x)-{\bf a}'({\bf p}){\bf a}(x)=0.$$

Le plan passant par le point $P$ de coordonnée $(p_1,p_2,p_3)$ et admettant les vecteurs directeurs linéairement indépendants ${\bf u}$ et ${\bf v}$ de composantes $(u_1,u_2,u_3)$ et $(v_1,v_2,v_3)$ admet l'équation cartésienne

$$% latex2html id marker 30534\left \vert \begin{array}{ccc... ...x_2-p_2&u_2&v_2\\ x_3-p_3&u_3&v_3 \end{array}\right \vert =0.$$

qui exprime que $\overrightarrow{PX}$ est combinaison linéaire de ${\bf u}$ et ${\bf v}$. D'ailleurs, c'est manifestement une équation du premier degré et les propriétés des déterminants vis-à-vis des colonnes montrent qu'elle est vérifiée lorsque ${\bf x}={\bf p}$ et que l'équation homogène l'est par les composantes de ${\bf u}$ et de ${\bf v}$. Elle s'écrit aussi

$$% latex2html id marker 30548\left \vert \begin{array}{ccc... ...v_2\\ x_3&p_3&u_3&v_3\\ 1&1&0&0 \end{array}\right \vert =0.$$

Le plan passant par trois points non alignés $P$, $Q$, $R$ de coordonnées $(p_1,p_2,p_3)$, $(q_1,q_2,q_3)$ et $(r_1,r_2,r_3)$ a dès lors pour équation

$$% latex2html id marker 30562\left \vert \begin{array}{ccc... ...&r_2-p_2\\ x_3-p_3&q_3-p_3&r_3-p_3 \end{array}\right \vert =0$$

que l'on écrit aussi sous la forme équivalente

$$% latex2html id marker 30564\left \vert \begin{array}{ccc... ..._2\\ x_3&p_3&q_3&r_3\\ 1&1&1&1 \end{array}\right \vert =0.$$

Le sous-vectoriel directeur du plan $\alpha$ d'équation cartésienne

$$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+b=0$$

ayant pour équation

$$a_1u_1+a_2u_2+a_3u_3=0,$$

le plan $\alpha '$ d'équation

$$a_1'x_1+a_2'x_2+a_3'x_3+b'=0$$

est parallèle à $\alpha$ si et seulement si (cf. Section 5.6)

$$\frac{a'_1}{a_1}=\frac{a_2'}{a_2}=\frac{a_3'}{a_3}\cdot$$

Il coïncide alors avec $\alpha$ si

$$\frac{a'_1}{a_1}=\frac{a_2'}{a_2}=\frac{a_3'}{a_3}=\frac{b'}{b}$$

(la vérification est la même qu'à propos du parallélisme de droites dans un plan).