7.4.0.2 Orientation et normale

Pour orienter le plan tangent $T_{P}S$, il suffit d'en choisir une normale unitaire $N_{P}$, les bases positives $({\bf e}_{1},{\bf e}_{2})$ de $\overrightarrow{T_{P}S}$ étant alors celles pour lesquelles $({\bf e}_{1},{\bf e}_{2},N_{P})$ est une base positive de $\overrightarrow{{\mathcal E}}$.

Un paramétrage $(U,\varphi)$ permet d'orienter les plans tangents à $\varphi(U)$ grâce à la normale unitaire

$$\frac{\partial_{u}\varphi\wedge\partial_{v}\varphi}{\vert\partial_{u}\varphi \wedge\partial_{v}\varphi\vert}\cdot$$ (7.6)

De même, une équation cartésienne $F$ donne une normale unitaire privilégiée

$$\frac{grad_{X}F}{\vert grad_{X}F\vert}\cdot$$

On dit que la surface $S$ est orientée lorsqu'on a choisi une normale unitaire $N:S\to\overrightarrow{{\mathcal E}}$ qui dépende continûment de $P\in S$, c'est-à-dire telle que, pour tout paramétrage $(U,\varphi)$, $N\circ \varphi$ soit continu. Comme il n'y a que deux normales unitaires possibles en chaque point, un tel choix coïncide forcément avec (37) ou avec son opposé. En conséquence, $N\circ \varphi$ est une fonction de classe $C_{p-1}$. Dans la suite, nous désignerons par $\partial_{u}N,\ \partial_{v}N,\ldots$ les dérivées partielles de $N\circ \varphi$ par rapport aux paramètres $u, v,\ldots$ Bien entendu, on peut aussi orienter $S$ avec la normale associée à une équation cartésienne.

Figure 10: Un ruban de Moebius.

Remarque 7.4.3   Les surfaces plus générales dont il est question dans la note en bas de page (1) ne sont pas toujours orientables. L' exemple du Ruban de Moebius est sans doute un des plus célèbres. Une surface non orientable n'a pas deux faces mais seulement une: il n'y a ni ``au-dessus" ni ``en-dessous". Dans le cas du Ruban de Moebius, cette particularité est exploitée pour répartir de façon homogène l'usure des courroies de transmission.

Remarque 7.4.4   En chaque point $P$ de $S$, orienté par la normale $N$, on obtient une base

$$(\partial_{u_{0}}\varphi,\partial_{v_{0}}\varphi,N_{P})$$

de $\overrightarrow{{\mathcal E}}$. C'est l'analogue pour les surfaces du trièdre de Frenet des courbes.