6.3.2.2 Calculs de la courbure et de la torsion

Il peut être utile de calculer ces éléments lorsque le paramétrage considéré $(I,\gamma)$ n'est pas naturel. Pour simplifier les écritures, nous désignerons par $f'$ la dérivée d'une fonction $f$ par rapport à l'argument $t$ de $\gamma$ et, comme plus haut, par $\dot{f}$ la dérivée par rapport à $s$ de cette fonction exprimée en terme d'une abscisse curviligne $s$ comptée positivement dans l'orientation associée à $\gamma$. La règle de dérivation des fonctions composées donne la relation

$$f'=\dot{f}\vert\gamma'\vert.$$

Proposition 6.3.12   Soient un arc paramétré de courbe $\Gamma$ et un de ses paramétrages $(I,\gamma)$. Si $\kappa \neq 0$, on a

$${\bf n}= \frac{(\gamma'\wedge\gamma'... ...\vert}, \ \ \kappa=\frac{\vert\gamma'\wedge\gamma''\vert}{\vert\gamma'\vert^3}$$

et

$${\bf b}=\frac{\gamma'\wedge\gamma''}... ...rack\gamma',\gamma'',\gamma'''\rbrack}{\vert\gamma'\wedge\gamma''\vert^2}\cdot$$

Preuve. En dérivant $\gamma'={\bf t}\vert\gamma'\vert$ par rapport à $t$, on obtient

$$\gamma''=\vert\gamma'\vert'{\bf t}+\... ...vert^2\dot{{\bf t}}=\vert\gamma'\vert'{\bf t}+\vert\gamma'\vert^2\kappa{\bf n}.$$ (6.5)

D'autre part, en dérivant $\vert\gamma'\vert^2=\gamma'.\gamma'$, il vient

$$\vert\gamma'\vert'=\frac{\gamma'.\gamma''}{\vert\gamma'\vert}\cdot$$

Par conséquent

$$\kappa{\bf n}=\frac{1}{\vert\gamma'\... ...mma')=\frac{1}{\vert\gamma'\vert^4}((\gamma'\wedge\gamma'')\wedge\gamma')\cdot$$

Les deux premières formules en découlent directement. La troisième est une conséquence immédiate de la première. Pour calculer $\tau$, multiplions vectoriellement par $\gamma'$ les membres de (27) puis dérivons par rapport à $t$ (^6.6). Il vient d'abord

$$\gamma'\wedge\gamma''=(\kappa\vert\gamma'\vert^3){\bf b}$$

puis

$$\gamma'\wedge\gamma'''=(\kappa\vert\... ... b}}=(\kappa\vert\gamma'\vert^3)'{\bf b}-\tau\kappa\vert\gamma'\vert^4{\bf n}.$$

Tenant compte de l'expression trouvée plus haut pour $\gamma''$, cela donne successivement

$$\lbrack\gamma',\gamma'',\gamma'''\rbrack=-(\gamma'\wedge\gamma''').\gamma''=\tau\kappa^2\vert\gamma'\vert^6.$$

D'où le résultat.$\qed$

Exemple 6.3.13   Courbure et torsion de l'hélice circulaire (24)

Pour cette hélice, on trouve facilement, en appliquant les formules qu'on vient d'établir,

$$\kappa=\frac{r}{r^2+h^2}, \ \tau=\frac{h}{r^2+h^2}.$$

Lorsque $\gamma$ représente le paramétrage par le temps de la trajectoire d'un point matériel, $\gamma''$ en est l'accélération. La formule (27) montre que celle-ci se compose de deux termes: l'accélération tangentielle $\vert\gamma'\vert'{\bf t}$ et l'accélération normale $\vert\gamma'\vert^2\kappa{\bf n}$.

Proposition 6.3.14   Soit un arc régulier de courbe $\Gamma$ admettant le paramétrage naturel $(I,\gamma)$. Si ${\mathcal T}$ est une isométrie positive de ${\mathcal E}$, alors ${\mathcal T}(\Gamma)$ est un arc régulier de courbe admettant le paramétrage naturel $(I,{\mathcal T}\circ\gamma)$ et, pour autant qu'elles soient définies, ses tangentes, normales principales et binormales sont données par

$$\overrightarrow{{\mathcal T}}({\bf t... ...verrightarrow{{\mathcal T}}({\bf n}),\ \overrightarrow{{\mathcal T}}({\bf b}),$$

où ${\bf t},{\bf n}, {\bf b}$ sont les éléments correspondants de $\Gamma$. De plus, la courbure et la torsion de ${\mathcal T}(\Gamma)$ sont, comme fonctions de $s\in I$, égales aux fonctions correspondantes de $\Gamma$.

Preuve. Notons $\varsigma$ la fonction ${\mathcal T}\circ\gamma$. Dans un repère orthonormé positif de ${\mathcal E}$, ${\mathcal T}$ est représenté par

$${\bf x}\mapsto M{\bf x}+{\bf p}$$

où $M$ est la matrice orthogonale représentant $\overrightarrow{{\mathcal T}}$ et ${\bf p}\in{\rm I\!R}^n$. En confondant $\gamma, \varsigma$ et leurs expressions en coordonnées, on a donc

$$\varsigma=M\gamma+{\bf p},\ \varsigma'=M\gamma', \ \varsigma''=M\gamma'' \ {\rm et }\ \varsigma'''=M\gamma''',$$

ce qui se traduit par

$$\varsigma'=\overrightarrow{{\mathcal... ...(\gamma'') \ {\rm et }\ \varsigma'''=\overrightarrow{{\mathcal T}}(\gamma''').$$

Comme ${\mathcal T}$ est une isométrie positive, $\overrightarrow{{\mathcal T}}$ conserve les produits mixtes et vectoriels. La Proposition 3.12 permet alors de conclure. $\qed$

Remarque 6.3.15   Dans l'énoncé ci-dessus, si l'isométrie est négative, alors la normale et la courbure sont conservées; la tangente, la binormale et la torsion sont remplacées par leurs opposés.

Les formules de Frenet montrent, inversement, qu'un arc régulier de courbe est déterminé à isométrie près par les fonctions $\kappa$ et $\tau$.

Proposition 6.3.16   Soient des arcs réguliers de courbes $\Gamma_i$, $i=1,2$, admettant des paramétrages naturels $(I,\gamma_i)$ définis sur un intervalle ouvert $I\subset {\rm I\!R}$ dans lequel les courbures $\kappa_i$ ne s'annulent pas. Si $\kappa_1=\kappa_2$ et $\tau_1=\tau_2$ dans $I$, alors il existe une isométrie ${\mathcal T}$ de ${\mathcal E}$ telle que

$$\gamma_2(s)={\mathcal T}(\gamma_1(s))$$

pour tout $s\in I$.

Preuve. Plaçons-nous dans un repère orthonormé positif. Dans celui-ci, les composantes des éléments du trièdre de Frenet $({\bf t}_i(s),{\bf n}_i(s),{\bf b}_i(s))$ de $\Gamma_i$ en $\gamma_i(s)$ sont les colonnes d'une matrice orthogonale $F_i(s)$. Les formules de Frenet montrent que les matrices $F_1$ et $F_2$ sont solutions de l'équation

$$\dot{X}=X\Phi$$

où $\Phi$ est la matrice

$$% latex2html id marker 34818\left ( \begin{array}{ccc} 0&-... ...\ \kappa_1&0&-\tau_1\\ 0&\tau_1&0 \end{array}\right )\cdot$$

On a donc(^6.7)

$$(F_1F_2^{-1})\dot{} = \dot{F_1}F_2^{-1}+F_1(F_2^{-1})\dot{}$$

$$= F_1\Phi F_2^{-1}-F_1F_2^{-1}\dot{F_2}F_2^{-1}$$

$$= 0.$$

Par conséquent, $F_1F_2^{-1}$ est une matrice constante, orthogonale et de déterminant positif $A$. Quitte à remplacer $\Gamma_2$ par son image par l'isométrie représentée par ${\bf x}\mapsto A{\bf x}$, on peut supposer que $A$ est la matrice unité et, par conséquent, que $F_1=F_2$. En particulier,

$${\bf t}_1={\bf t}_2=\dot{\gamma_1}=\dot{\gamma_2}.$$

Ayant même dérivée dans l'intervalle $I$ que $\gamma_1$, $\gamma_2$ est donc le translaté de $\gamma_1$ par la translation de vecteur constant $\overrightarrow{\gamma_1\gamma_2}$. $\qed$