1.5.6 Cas de la dimension $3$

Lorsque $E$ est de dimension $3$, en dehors de $E$ et de $\bf0$, les sous-espaces vectoriels sont de dimension $1$ ou $2$. Dans une base $({\bf e}_1,{\bf e}_2,{\bf e}_3)$ de $E$, une droite vectorielle $V$ est caractérisée par deux équations homogènes du premier degré indépendantes

$$\left \{ \begin{array}{lcl} {\bf a}(... ...x_2+a_3x_3=0\\ {\bf a'}(x)\equiv a_1'x_1+a_2'x_2+a_3'x_3=0 \end{array} \right.$$ (1.8)

L'indépendance des équations se traduit par le fait que $(a_1,a_2,a_3)$ n'est pas multiple de $(a_1',a_2',a_3')$ et inversement. Les équations (8) admettent la solution

$$(a_2a_3'-a_3a_2',a_3a_1'-a_1a_3',a_1a_2'-a_2a_1')$$

formée des mineurs algébriques extraits du tableau des coefficients

$$% latex2html id marker 28515\left ( \begin{array}{ccc} a_1 &a_2 &a_3\\ a_1' &a_2' &a_3' \end{array}\right ).$$

Ils ne sont pas nuls, sinon

$$\frac{a_1'}{a_1}=\frac{a_2'}{a_2}=\frac{a_3'}{a_3}$$

et les équations ne seraient pas indépendantes. Ces mineurs sont donc les composantes d'une base de $V$ qui admet ainsi les équations paramétriques

$$% latex2html id marker 28521\left \{ \begin{array}{lcl} x_... ...a_3')\\ x_3 &=& \lambda (a_1a_2'-a_2a_1') \end{array}\right.$$

Les plans vectoriels sont des hyperplans. Ils sont donc décrits par une équations cartésienne non nulle déterminée à un multiple non nul près.

Proposition 1.5.12   Dans un espace vectoriel de dimension $3$, deux plans vectoriels distincts se coupent selon une droite vectorielle.

Preuve. En effet, deux plans distincts sont caractérisés par des équations cartésiennes indépendantes.$\qed$

Proposition 1.5.13   Dans un espace vectoriel de dimension $3$, un plan vectoriel contient une droite vectorielle d'équations cartésiennes (8) si et seulement si il admet une équation cartésienne de la forme

$$k{\bf a}(x)+k'{\bf a}'(x)=0,$$

où $k$ et $k'$ ne sont pas tous les deux nuls.

Figure 2: Les plans vectoriels contenant une droite vectorielle.

Preuve. Le sous-espace vectoriel d'équation cartésienne

$$b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3=0, (b_1,b_2,b_3)\ne {\bf0},$$

contient la droite vectorielle $V$ d'équation (8) si et seulement si

$$(b_1,b_2,b_3) \in V_{\mathcal B}^\perp.$$

Comme $(a_1,a_2,a_3)$ et $(a_1',a_2',a_3')$ forment une base de $V_{\mathcal B}^\perp$, ceci équivaut à ce que $(b_1,b_2,b_3)$ soit combinaison linéaire de ces derniers, à coefficients non tous nuls.$\qed$

Corollaire 1.5.14   Dans un espace vectoriel de dimension $3$, trois plans vectoriels deux à deux distincts d'équations cartésiennes ${\bf a}(x)=0$, ${\bf a}'(x)=0$, ${\bf a}''(x)=0$ se coupent selon un droite vectorielle si et seulement si leurs équations sont linéairement dépendantes:

$$r{\bf a}+r'{\bf a}'+r''{\bf a}'' \equiv 0$$

pour certains $r$, $r'$, $r''$ non tous nuls.

Preuve. En effet, l'équation de l'un de ces plans est combinaison de celles des deux autres puisqu'il contient la droite vectorielle intersection de ceux-ci.$\qed$

Remarque 1.5.15   Traditionnellement, en dimension $3$, les composantes sont notées $(x,y,z)$ plutôt que $(x_1,x_2,x_3)$.

Remarque 1.5.16   On peut établir qu'il existe des équations paramétriques canoniques uniquement:

$\bullet$

pour les droites vectorielles quelque soit la dimension de $E$

$\bullet$

pour les hyperplans vectoriels en dimensions $2$, $4$ et $8$.

En dimension quelconque, les mineurs algébriques du tableau des coefficients des équations cartésiennes d'une droite forment une base de celle-ci, d'où découlent comme indiqué plus haut en dimensions $2$ et $3$, des équations paramétriques canoniques des droites vectorielles. En dimensions $4$, les vecteurs de composantes

$$% latex2html id marker 28606\begin{array}c (-a_2,a_1,-a_4,a_3)\\ (-a_3,a_4,a_1,-a_2)\\ (-a_4,-a_3,a_2,a_1) \end{array}$$

forment une base de l'hyperplan d'équation

$$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+a_4x_4=0.$$

Des formules analogues existent pour décrire les sept éléments d'une base d'un hyperplan en dimension $8$. Nous ne les donnerons pas ici.

La démonstration du fait que ces cas soient les seuls pour lesquels il existe des formules générales est très difficile!