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4.4.3 Sphère

La sphère de centre $ C$ et de rayon $ r$ est l'ensemble $ S(C,r)$ des points $ X$ situés à distance $ r$ de $ C$. En dimension $ 2$, on dit cercle plutôt que sphère.

Proposition 4.4.6   L'intersection de la sphère $ S(C,r)$ et de l'hyperplan $ \alpha $ est vide, réduite à $ pr_\alpha^\perp(C)$ ou la sphère $ S(pr_\alpha^\perp(C),\sqrt{r^2-d(C,\alpha)^2})$ de $ \alpha $ selon que $ d(C,\alpha)$ est repectivement plus grand que, égal à ou plus petit que $ r$.

Preuve. C'est immédiat.$ \qed $


Quand $ S(C,r)\cap\alpha$ est réduit à un point $ P$, $ \alpha $ est perpendiculaire à $ CP$. Sa position est limite de celles des hyperplans passant par $ P$ et dont la normale en $ P$ se ``rapproche" de $ CP$. On dit alors que $ \alpha $ est tangent à la sphère en $ P$.

Voici l'analogue de la proposition précédente pour une droite.

Proposition 4.4.7   L'intersection de la sphère $ S(C,r)$ et de la droite $ {\mathcal D}$ est vide, réduite à $ pr_{\mathcal D}^\perp(C)$ ou contient exactement deux points selon que $ d(C,{\mathcal D})$ est repectivement plus grand que, égal à ou plus petit que $ r$.


Quand $ {\mathcal D}$ coupe $ S(C,r)$ en un seul point $ P$, elle est position limite de la droite passant par $ P$ et un point $ Q$ se ``rapprochant" de $ P$ sur la sphère. On dit alors que $ {\mathcal D}$ est tangente à celle-ci en $ P$. Elle appartient à l'hyperplan tangent à la sphère en ce point.



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2002-12-17