4.4.3 Sphère

La sphère de centre $C$ et de rayon $r$ est l'ensemble $S(C,r)$ des points $X$ situés à distance $r$ de $C$. En dimension $2$, on dit cercle plutôt que sphère.

Proposition 4.4.6   L'intersection de la sphère $S(C,r)$ et de l'hyperplan $\alpha$ est vide, réduite à $pr_\alpha^\perp(C)$ ou la sphère $S(pr_\alpha^\perp(C),\sqrt{r^2-d(C,\alpha)^2})$ de $\alpha$ selon que $d(C,\alpha)$ est repectivement plus grand que, égal à ou plus petit que $r$.

Preuve. C'est immédiat.$\qed$

Quand $S(C,r)\cap\alpha$ est réduit à un point $P$, $\alpha$ est perpendiculaire à $CP$. Sa position est limite de celles des hyperplans passant par $P$ et dont la normale en $P$ se ``rapproche" de $CP$. On dit alors que $\alpha$ est tangent à la sphère en $P$.

Voici l'analogue de la proposition précédente pour une droite.

Proposition 4.4.7   L'intersection de la sphère $S(C,r)$ et de la droite ${\mathcal D}$ est vide, réduite à $pr_{\mathcal D}^\perp(C)$ ou contient exactement deux points selon que $d(C,{\mathcal D})$ est repectivement plus grand que, égal à ou plus petit que $r$.

Quand ${\mathcal D}$ coupe $S(C,r)$ en un seul point $P$, elle est position limite de la droite passant par $P$ et un point $Q$ se ``rapprochant" de $P$ sur la sphère. On dit alors que ${\mathcal D}$ est tangente à celle-ci en $P$. Elle appartient à l'hyperplan tangent à la sphère en ce point.