4.4.3.1 Coordonnées polaires et sphériques

Une origine $O\in {\mathcal E}$ étant fixée, un point $P \ne O$ est complètement caractérisé par la distance $r=\vert OP\vert$ et la position du point que le rayon-vecteur $\overrightarrow{OP}$ découpe sur la sphère de centre $O$ et de rayon $1$. On obtient ainsi d'autres manières de décrire les éléments de ${\mathcal E}$ par des nombres qu'en utilisant un repère orthonormé. Ces systèmes de coodonnées alternatifs sont mieux adaptés à certains problèmes que les coordonées cartésiennes.

Supposons d'abord ${\mathcal E}$ de dimension $2$, et orienté. La position d'un point $A$ sur le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ est entièrement caractérisée par l'angle orienté $\theta$ que fait $\overrightarrow{OA}$ avec un vecteur normé de référence ${\bf u}=\overrightarrow{OA_0}$ donné. Les nombres $r$ et $\theta$ sont les coordonées polaires du point $P$. Par définition, on a $r>0$, $\theta\in\lbrack0,2\pi\lbrack$. De plus, les coordonnées $(x,y)$ de $P$ dans le repère orthonormé positif $(O,({\bf e}_1={\bf u},{\bf e}_2))$ sont données par

$$\left\{ \begin{array}{ccc} x &=& r\cos \theta\\ y &=& r\sin \theta \end{array} \right.$$ (4.1)

Il est commode d'autoriser des valeurs négatives de $r$, étant entendu que les coodonnées polaires $(r,\theta)$ et $(-r, \pi+\theta)$ représentent alors le même point. Les formules ci-dessus sont encore applicables.

Figure: La distance de $O$ à ${\mathcal D}$ est $r\cos (\theta-\varphi)$.

Exemple 4.4.8   Equation d'une droite en coordonnées polaires

Soit une droite ${\mathcal D}$ d'équation cartésienne $ax+by+c=0$ dans le repère ci-dessus. Supposons que $a^2+b^2=1$, ce qu'on peut toujours faire en divisant les deux membres de l'équation par $\sqrt{a^2+b^2}$ si nécessaire. Il existe $\varphi\in\lbrack0,2\pi\lbrack$ tel que $a=\cos \varphi$ et $b=\sin \varphi$. Remplaçant $x$ et $y$ par leurs expressions (20) dans l'équation de ${\mathcal D}$, on obtient son équation en coordonnées polaires

$$r\cos(\theta-\varphi)+c=0.$$

Figure: Coordonnées sphériques.

Supposons à présent ${\mathcal E}$ de dimension $3$ et, à nouveau, orienté. Pour caractériser la position d'un point sur la sphère $S(O,1)$, on utilise un repère orthonormé positif $(O,({\bf e}_x,{\bf e}_y,{\bf e}_z))$ (les indices sont choisis pour rappeler les noms $x$, $y$ et $z$ adoptés pour les coordonnées). Un point $A$ de la sphère, non situé sur l'axe $OZ$ ( $Z=O+{\bf e}_z$) forme avec celui-ci un plan $\alpha$ qui coupe la sphère selon un cercle (le méridien auquel appartient $A$). Deux angles suffisent alors: un pour localiser $A$ sur son méridien (la latitude), l'autre pour selectionner celui-ci, c'est-à-dire caractériser $\alpha$ parmi tous les plans passant par $OZ$ (la longitude). Un choix usuel consiste à prendre pour latitude(^4.6) l'angle non orienté $\lambda$ entre ${\bf e}_z$ et $\overrightarrow{OA}$, et pour longitude, l'angle orienté $\mu$ formé par ${\bf e}_x$ et $\overrightarrow{OA'}$, où $A'$ est la projection orthogonale de $A$ sur le plan formé par les axes $OX$ et $OY$ etñ orienté par le repère $(O,({\bf e}_x,{\bf e}_y))$.

Les coordonées sphériques d'un point $P\notin\vert OZ\vert$ sont alors les nombres $(r=\vert OP\vert, \lambda, \mu)$. On a $r>0$, $\lambda\in\rbrack0,\pi\lbrack$ et $\mu\in\lbrack0,2\pi\lbrack$. De plus, elles sont liées aux coordonnées cartésiennes de $P$ dans le repère $(O,({\bf e}_x,{\bf e}_y,{\bf e}_z))$ par les formules

$$% latex2html id marker 32414\left \{ \begin{array}{ccl} x&... ...&=&r\sin\lambda\sin\mu\\ z&=&r\cos\lambda \end{array}\right.$$