2.3.5 Calcul des barycentres

Le barycentre d'un ensemble de points pondérés peut se calculer par étapes, en les remplaçant par les barycentres de certains de leurs sous-sensembles.

Proposition 2.3.4   Soient une partition $\mathcal{A}_i$, $i\in \{1, \ldots ,q\}$, d'un ensemble $\{A_1, \ldots ,A_p\}$ de points affectés de poids respectifs $\alpha_1, \ldots ,\alpha_p$. On a

$$\alpha_1A_1+ \cdots +\alpha_pA_p=\beta_1B_1+ \cdots +\beta_qB_q,$$

où $\beta_i$ est la somme des poids des éléments de $\mathcal{A}_i$ et $B_i$ le barycentre de ces éléments, $A_j \in \mathcal{A}_i$ étant affecté du poids $\alpha_j/\beta_i$.

Preuve. Pour alléger l'écriture, nous détaillerons le cas d'une partition en deux sous-ensembles

$$\mathcal{A}_1=\{A_1, \ldots ,A_r\}, \ \mathcal{A}_2=\{A_{r+1}, \ldots ,A_p\}.$$

Une origine quelconque $O$ étant choisie, il vient, avec

$$\beta_1=\alpha_1+ \cdots +\alpha_r \ \ {\rm et} \ \ \beta_2=\alpha_{r+1}+ \cdots +\alpha_p,$$

$$\alpha_1{\overrightarrow{OA}}_1+ \cdots +\alpha_p{\overrightarrow... ...s +\frac{\alpha_p}{\beta_2}{\overrightarrow{OA_p)}}}_{{\overrightarrow{OB_2}}}$$

D'où la conclusion.$\qed$

Remarque 2.3.5   Dans la Proposition 3.4, on suppose que les $\beta_i$ ne sont pas nuls. Il est facile d'adapter l'énoncé pour tenir compte des $\beta_i$ nuls. Ceci est laissé comme exercice au lecteur.

La Proposition 3.4 est, par exemple, utile en mécanique pour le calcul du centre de masse. En voici une application géométrique très classique qui est l'occasion d'introduire un peu de vocabulaire. Trois points non alignés $A$, $B$, $C$ sont les sommets du triangle $ABC$. Les segments $\lbrack A, B \rbrack$, $\lbrack B, C \rbrack$ et $\lbrack C, A \rbrack$ en sont les côtés. La médiane relative à un sommet est la droite joignant ce sommet au milieu du côté opposé. On a

$$\frac{1}{3}A+\frac{1}{3}B+\frac{1}{3}C=\frac{1}{3}A+\frac{2}{3}(\frac{1}{2}B+\frac{1}{2}C).$$

Il en résulte immédiatement que les médianes d'un triangle se coupent en son centre de gravité, au deux tiers de chacune à partir de son sommet.