7.5.2.2 Expression de $\varpi$

On peut également calculer $\varpi$ au moyen d'un paramétrage de $S$. Cela va d'ailleurs permettre de vérifier qu'il est symétrique en ses arguments.

Proposition 7.5.8   Si les composantes de ${\bf h}$ et ${\bf k}$ dans la base $(\partial_{u_{0}}\varphi,\partial_{v_{0}}\varphi)$ sont $(a,b)$ et $(c,d)$ respectivement, alors

$$\varpi_{P}({\bf h},{\bf k})=Kac+L(ad+bc)+Mbd,$$

où

$$K = -\partial_{u_{0}}N.\partial_{u_{0}}\varphi,$$

$$L = -\frac{1}{2}(\partial_{u_{0}}N.\partial_{v_{0}}\varphi+\partial_{v_{0}}N.\partial_{u_{0}}\varphi),$$

$$M = -\partial_{v_{0}}N.\partial_{v_{0}}\varphi.$$

En particulier, $\varpi_{P}$ est symétrique.

Preuve. On a

$${\bf h} = a\partial_{u_{0}}\varphi+b\partial_{v_{0}}\varphi,$$

$${\bf k} = c\partial_{u_{0}}\varphi+d\partial_{v_{0}}\varphi.$$

Donc, vu (38)

$$\varpi_{P}({\bf h},{\bf k}) = -W_{P}({\bf h}).{\bf k}$$

$$= K ac - \partial_{u_{0}}N.\partial_{v_{0}}\varphi ad - \partial_{v_{0}}N. \partial_{u_{0}}\varphi bc + M bd).$$

Mais, comme $N.\partial_{u}\varphi$ et $N.\partial_{v}\varphi$ sont nuls, on a toujours

$$\partial_{u}N.\partial_{v}\varphi = \partial_{u}(N.\partial_{v}\varphi)-N.\partial_{uv}^{2}\varphi$$

$$= \partial_{v}N.\partial_{u}\varphi.$$

D'où la formule annoncée.$\qed$

On rencontre souvent l'écriture

$$\varpi_{P}=Kdu^{2}+2Ldudv+Mdv^{2}$$

qui est l'analogue pour $\varpi$ de la formule du célèbre ``$ds^{2}$".