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2.2.1 Définition

Un espace affine (modelé) sur un espace vectoriel $ E$ est la donnée d'un ensemble $ {\mathcal E}$ dont les éléments sont appelés points et, pour chaque % latex2html id marker 28628
$ {\bf u}\in E$, d'une application

% latex2html id marker 28630
$\displaystyle t_{\bf u}: X \in {\mathcal E}\mapsto X+{\bf u}\in {\mathcal E}
$

appelée translation de vecteur % latex2html id marker 28632
$ {\bf u}$, tels que

(a)
Si % latex2html id marker 28638
$ X+{\bf u}= X+{\bf v}$ pour au moins un $ X \in {\mathcal E}$, alors % latex2html id marker 28642
$ {\bf u}={\bf v}$.
(b)
Quels que soient les éléments % latex2html id marker 28644
$ {\bf u}$ et % latex2html id marker 28646
$ {\bf v}$ de $ E$, la composée des translations de vecteurs % latex2html id marker 28650
$ {\bf u}$ et % latex2html id marker 28652
$ {\bf v}$ est la translation de vecteur % latex2html id marker 28654
$ {\bf u}+{\bf v}$:

% latex2html id marker 28656
$\displaystyle (X+{\bf u})+{\bf v}=X+({\bf u}+{\bf v}).
$

Figure 1: Pour composer des translations, on additionne leurs vecteurs.
\includegraphics{FIG5.EPS}

(c)
La translation de vecteur % latex2html id marker 28662
$ {\bf0}$ est l'identité:

% latex2html id marker 28664
$\displaystyle X+{\bf0}=X.
$

(d)
Quels que soient les points $ X$ et $ Y$ de $ {\mathcal E}$, il existe un élément $ \overrightarrow{XY}$ de $ E$ tel que

$\displaystyle X+\overrightarrow{XY}=Y.
$

Figure 2: La translation de vecteur $ \overrightarrow{XY}$ est la seule transformant $ X$ en $ Y$.
\includegraphics{FIG6.EPS}

Remarque 2.2.1   Vu (a), $ \overrightarrow{XY}$ est le seul % latex2html id marker 28701
$ {\bf u}$ tel que % latex2html id marker 28703
$ X+{\bf u}=Y$.

Proposition 2.2.2   Les translations sont des bijections. L'inverse de la translation de vecteur % latex2html id marker 28706
$ {\bf u}$ est celle de vecteur % latex2html id marker 28708
$ -{\bf u}$.

Preuve. En effet, vu (b) et (c),

% latex2html id marker 28710
$\displaystyle t_{\bf u}\circ t_{-{\bf u}}=t_{-{\bf u}} \circ t_{\bf u}=t_{\bf0}
$

est l'identité. $ \qed $

Proposition 2.2.3   Trois points quelconques $ X$, $ Y$ et $ Z$ de $ {\mathcal E}$ vérifient toujours la relation de Chasles

% latex2html id marker 28723
$\displaystyle \overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}+\overrightarrow{ZX}={\bf0}.
$

En particulier, % latex2html id marker 28725
$ \overrightarrow{XX}={\bf0}$ et $ \overrightarrow{YX}=-\overrightarrow{XY}$.

Preuve. On a, en appliquant répétitivement (b) et (d),
$\displaystyle X+(\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}+\overrightarrow{ZX})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (X+\overrightarrow{XY})+(\overrightarrow{YZ}+\overrightarrow{ZX})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (Y+\overrightarrow{YZ})+\overrightarrow{ZX}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle X.$  

Comme % latex2html id marker 28744
$ t_{\bf0}$, la translation de vecteur $ \overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}+\overrightarrow{ZX}$ transforme donc $ X$ en $ X$. D'après (a), il en résulte que ce dernier est nul.

On obtient % latex2html id marker 28752
$ \overrightarrow{XX}={\bf0}$ en faisant $ X=Y=Z$ dans la relation de Chasles. Il vient ensuite $ \overrightarrow{YX}=-\overrightarrow{XY}$ en y faisant $ Y=Z$.$ \qed $

Figure: La relation de Chasles: trois points déterminent au plus deux directions indépendantes.
\includegraphics{FIG7.EPS}

Remarque 2.2.4   La relation de Chasles prend la forme très utile

$\displaystyle \overrightarrow{XY}=\overrightarrow{ZY}-\overrightarrow{ZX}
$

permettant d'exprimer $ \overrightarrow{XY}$ à l'aide d'un point $ Z$ quelconque, ce qui conduit d'ailleurs à écrire

$\displaystyle \overrightarrow{XY}=Y-X.
$

En général, l'espace vectoriel $ E$ sous-jacent à $ {\mathcal E}$ est spécifié par le contexte. Il arrive que l'on doive le désigner explicitement, auquel cas nous le représenterons par $ \overrightarrow{{\mathcal E}} $.


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2002-12-17