suivant: 2.2.2 Exemple
monter: 2.2 Espaces affines
précédent: 2.2 Espaces affines
  Table des matières
Un espace affine (modelé) sur un espace vectoriel est la donnée d'un ensemble
dont les éléments sont appelés points et, pour chaque
, d'une application
appelée translation de vecteur , tels que
- (a)
- Si
pour au moins un
, alors
.
- (b)
- Quels que soient les éléments et de , la composée des translations de vecteurs et
est la translation de vecteur
:
Figure 1:
Pour composer des translations, on additionne leurs vecteurs.
|
- (c)
- La translation de vecteur est l'identité:
- (d)
- Quels que soient les points et de
, il existe un élément
de tel que
Figure 2:
La translation de vecteur
est la seule transformant en .
|
Remarque 2.2.1
Vu (a),
est le seul
tel que
.
Proposition 2.2.2
Les translations sont des bijections. L'inverse de la translation de vecteur
est celle de vecteur
.
Preuve. En effet, vu (b) et (c),
est l'identité.
Proposition 2.2.3
Trois points quelconques
,
et
de
vérifient toujours la
relation de Chasles
En particulier,
et
.
Preuve. On a, en appliquant répétitivement (b) et (d),
Comme , la translation de vecteur
transforme donc en . D'après (a), il en résulte que ce dernier est nul.
On obtient
en faisant dans la relation de Chasles. Il vient ensuite
en y faisant .
Figure:
La relation de Chasles: trois points déterminent au plus deux directions indépendantes.
|
Remarque 2.2.4
La relation de Chasles prend la forme très utile
permettant d'exprimer
à l'aide d'un point
quelconque, ce qui conduit d'ailleurs à écrire
En général, l'espace vectoriel sous-jacent à
est spécifié par le contexte. Il arrive que l'on doive le désigner explicitement, auquel cas nous le
représenterons par
.
suivant: 2.2.2 Exemple
monter: 2.2 Espaces affines
précédent: 2.2 Espaces affines
  Table des matières
2002-12-17