2.2.1 Définition

Un espace affine (modelé) sur un espace vectoriel $E$ est la donnée d'un ensemble ${\mathcal E}$ dont les éléments sont appelés points et, pour chaque ${\bf u}\in E$, d'une application

$$t_{\bf u}: X \in {\mathcal E}\mapsto X+{\bf u}\in {\mathcal E}$$

appelée translation de vecteur ${\bf u}$, tels que

(a)

Si $X+{\bf u}= X+{\bf v}$ pour au moins un $X \in {\mathcal E}$, alors ${\bf u}={\bf v}$.

(b)

Quels que soient les éléments ${\bf u}$ et ${\bf v}$ de $E$, la composée des translations de vecteurs ${\bf u}$ et ${\bf v}$ est la translation de vecteur ${\bf u}+{\bf v}$:

$$(X+{\bf u})+{\bf v}=X+({\bf u}+{\bf v}).$$

Figure 1: Pour composer des translations, on additionne leurs vecteurs.

(c)

La translation de vecteur ${\bf0}$ est l'identité:

$$X+{\bf0}=X.$$

(d)

Quels que soient les points $X$ et $Y$ de ${\mathcal E}$, il existe un élément $\overrightarrow{XY}$ de $E$ tel que

$$X+\overrightarrow{XY}=Y.$$

Figure 2: La translation de vecteur $\overrightarrow{XY}$ est la seule transformant $X$ en $Y$.

Remarque 2.2.1   Vu (a), $\overrightarrow{XY}$ est le seul ${\bf u}$ tel que $X+{\bf u}=Y$.

Proposition 2.2.2   Les translations sont des bijections. L'inverse de la translation de vecteur ${\bf u}$ est celle de vecteur $-{\bf u}$.

Preuve. En effet, vu (b) et (c),

$$t_{\bf u}\circ t_{-{\bf u}}=t_{-{\bf u}} \circ t_{\bf u}=t_{\bf0}$$

est l'identité. $\qed$

Proposition 2.2.3   Trois points quelconques $X$, $Y$ et $Z$ de ${\mathcal E}$ vérifient toujours la relation de Chasles

$$\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}+\overrightarrow{ZX}={\bf0}.$$

En particulier, $\overrightarrow{XX}={\bf0}$ et $\overrightarrow{YX}=-\overrightarrow{XY}$.

Preuve. On a, en appliquant répétitivement (b) et (d),

$$X+(\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}+\overrightarrow{ZX}) = (X+\overrightarrow{XY})+(\overrightarrow{YZ}+\overrightarrow{ZX})$$

$$= (Y+\overrightarrow{YZ})+\overrightarrow{ZX}$$

$$= X.$$

Comme $t_{\bf0}$, la translation de vecteur $\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}+\overrightarrow{ZX}$ transforme donc $X$ en $X$. D'après (a), il en résulte que ce dernier est nul.

On obtient $\overrightarrow{XX}={\bf0}$ en faisant $X=Y=Z$ dans la relation de Chasles. Il vient ensuite $\overrightarrow{YX}=-\overrightarrow{XY}$ en y faisant $Y=Z$.$\qed$

Figure: La relation de Chasles: trois points déterminent au plus deux directions indépendantes.

Remarque 2.2.4   La relation de Chasles prend la forme très utile

$$\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{ZY}-\overrightarrow{ZX}$$

permettant d'exprimer $\overrightarrow{XY}$ à l'aide d'un point $Z$ quelconque, ce qui conduit d'ailleurs à écrire

$$\overrightarrow{XY}=Y-X.$$

En général, l'espace vectoriel $E$ sous-jacent à ${\mathcal E}$ est spécifié par le contexte. Il arrive que l'on doive le désigner explicitement, auquel cas nous le représenterons par $\overrightarrow{{\mathcal E}}$.