7.5.2 La seconde forme fondamentale

Figure: Dériver $N$ dans la direction de ${\bf h}$: application de Weingarten.

Pour étudier la courbure de $S$ au voisinage de $P$, l'idée est d'examiner la manière dont la normale $N$ varie aux alentours de $P$. En particulier, on peut dériver $N$ dans la direction de chaque vecteur tangent à $S$ en $P$. Comme $N$ est de longueur constante $1$, ces dérivées lui sont orthogonales. Elles sont donc tangentes à $S$ en $P$. L'application qui transforme ${\bf h}\in\overrightarrow{T_{P}S}$ en la dérivée $W_{P}({\bf h})\in\overrightarrow{T_{P}S}$ de $N$ dans la direction de ${\bf h}$ est l'application de Weingarten de $S$ en $P$. La seconde forme fondamentale de $S$ en $P$ est alors, par définition,

$$\varpi:{\bf h},{\bf k}\in\overrightarrow{T_{P}S}\mapsto -W_{P}({\bf h}).{\bf k}.$$