6.4 Courbes planes

Ce qui précède s'applique aux arcs de courbe contenus dans un plan. Bien entendu, quand ${\mathcal E}$ est de dimension $2$, on ne considère pas de binormale. De plus, pour respecter l'orientation de ${\mathcal E}$, on définit ${\bf n}$ de manière telle que $({\bf t},{\bf n})$ soit une base orthonormée positive de $\overrightarrow{{\mathcal E}}$, que $\dot{{\bf t}}$ soit nul ou non. La courbure $\kappa$ est encore définie par la relation $\dot{{\bf t}}=\kappa{\bf n}$ et n'est plus nécessairement $\ge0$. La longueur de $\dot{{\bf t}}$ est à présent donnée par $\vert\kappa\vert$. Dans cette section, ${\mathcal E}$ est de dimension $2$.

Proposition 6.4.1   Soient respectivement ${\bf t}_+$, ${\bf n}_+$ et $\kappa_+$ le vecteur tangent unitaire, la normale principale et la courbure d'un arc orienté de courbe de ${\mathcal E}$. Les éléments correspondant de l'arc orienté dans le sens opposé sont donnés par

$${\bf t}_-=-{\bf t}_+, \ {\bf n}_-=-{\bf n}_+ \ {\rm et} \ \kappa_-=-\kappa_+.$$

La preuve est facile et proposée à titre d'exercice.