4.4.1 Distance entre deux points

La distance de deux points $X$ et $Y$ de ${\mathcal E}$ est par définition le nombre

$$d(X,Y)=\vert\overrightarrow{XY}\vert.$$

Dans un repère (orthonormé), dans lequel les coordonnées de $X$ et $Y$ sont ${\bf x}$ et ${\bf y}$, on a donc

$$d(X,Y)=\vert{\bf y}-{\bf x}\vert=\sqrt{(y_1-x_1)^2+Ê\cdots +(y_n-x_n)^2}.$$

La distance de $X$ et $Y$ est aussi la longueur du segment $\lbrack X, Y\rbrack$. On la note encore $\vert XY\vert$.

La distance est invariante par translation. Il est en effet immédiat que

$$d(X+{\bf u},Y+{\bf u})=d(X,Y).$$