6.4.2.2 Expression de la courbure

Proposition 6.4.5   Si un arc régulier de courbe $\Gamma$ est défini par une équation cartésienne $F=0$, alors sa courbure est donnée par l'expression

$$\kappa_\Gamma=-\frac{\partial_{xx}F(\partial_yF)^2-2\partial_{xy}... ...artial_{yy}F(\partial_xF)^2}{(\sqrt{(\partial_xF)^2+(\partial_yF)^2})^3} \cdot$$

Preuve. Choisissons un paramétrage local par une des coordonnées. Pour fixer les idées, supposons que $\partial_yF\ne0$ et que $\Gamma$ est décrit comme le graphe d'une fonction $f$ de l'abscisse $x$ (^6.10). On va exploiter la troisième formule de la Proposition 4.2. Pour cela, il nous faut exprimer $f'$ et $f''$ à l'aide de $F$. En dérivant l'identité

$$F(x,f(x))=0,$$

deux fois par rapport à $x$, on obtient, grâce à la règle de dérivation des fonctions composées,

$$\partial_xF+\partial_yFf'=0,$$

puis

$$\partial_{xx}F+2\partial_{xy}Ff'+\partial_{yy}Ff'^2+\partial_yFf''=0.$$

Puisque $\partial_yF\ne0$, ces relations permettent d'exprimer $f'$ et $f''$ à l'aide des dérivées partielles de $F$. En particulier,

$$f'=-\frac{\partial_xF}{\partial_yF}$$

de sorte que l'orientation associée au paramétrage est celle de $\Gamma$ ou l'opposée selon que $\partial_yF>0$ ou $\partial_yF<0$ respectivement. Un peu de calcul permet alors d'obtenir

$$\kappa=-\frac{\partial_{xx}F(\partial_yF)^2-2\partial_{xy}F\parti... ..._xF)^2} {(\partial_yF)^3(\sqrt{1+\frac{\partial_xF^2}{\partial_yF^2}})^3}\cdot$$

Si $\partial_yF$ est positif, il rentre sous le radical du dénominateur. La formule est donc démontrée quand l'orientation associée au paramétrage est la même que celle de $\Gamma$. Elle l'est aussi lorsque c'est l'orientation opposée, vu la Proposition 4.1$\qed$