3.2.2.1 Longueur

Dans ${\rm I\!R}^n$, le carré scalaire de ${\bf x}$ vaut

$${\bf x}.{\bf x}=x_1^2+ \cdots +x_n^2.$$

Dans $E$, par définition, les carrés scalaires sont toujours positifs ou nuls. Eu égard au théorème de Pythagore de la géométrie d'Euclide, il est donc légitime d'appeler longueur de ${\bf u}\in E$ le nombre $\sqrt{{\bf u}.{\bf u}}$; il est noté $\vert{\bf u}\vert$ (^3.1). La première propriété du produit scalaire montre que ${\bf u}$ est nul si et seulement si $\vert{\bf u}\vert$ est nul. On dit que ${\bf u}$ est normé si sa longueur est $1$.

L'inégalité suivante est la clé de voûte des propriétés métriques des espaces vectoriels Euclidiens.

Proposition 3.2.2   (Inégalité de Cauchy-Schwarz) On a toujours

$$\vert{\bf u}.{\bf v}\vert\le\vert{\bf u}\vert\vert{\bf v}\vert$$

l'égalité ayant lieu si et seulement si ${\bf u}$ et ${\bf v}$ sont linéairement dépendants.

Preuve. Si ${\bf u}$ est nul, il n'y a rien à démontrer. S'il ne l'est pas, alors

$$% latex2html id marker 30867 \begin{array}{ccc} \vert{\bf u}... ... u}.{\bf v}}{\vert{\bf u}\vert^2}{\bf u}\vert^2\ge0 \end{array}$$ (3.1)

l'égalité ayant alors lieu pour autant que ${\bf v}$ soit un multiple de ${\bf u}$.$\qed$