4.4.2.4 Projection orthogonale d'un angle

Considérons un plan $\pi$ et un triangle $PQR$, avec $QR\subset\pi$ et $P$ extérieur à $\pi$. Notons $P'$ la projection orthogonale de $P$ sur $\pi$. Nous allons établir des formules importantes liant l'angle $\alpha=\hat{P}$ du triangle $PQR$ à sa projection orthogonale $A=\hat{P'}$ sur $\pi$.

Notons respectivement $\beta$, $\gamma$ les angles non orientés formés par $\overrightarrow{PP'}$ et $\overrightarrow{PQ}$, $\overrightarrow{PP'}$ et $\overrightarrow{PR}$. Notons aussi $B$ et $C$ les projections orthogonales respectives de $\beta$ et $\gamma$ sur les plans perpendiculaires à $PR$ et $PQ$.

Figure 7: $A$ est la projection orthogonale de $\alpha$ sur $\pi$.

Proposition 4.4.4  

On a

$$\cos \alpha = \cos\beta\cos\gamma+\cos A\sin\beta\sin\gamma$$

et

$$\frac{\sin A}{\sin\alpha}=\frac{\sin B}{\sin\beta}=\frac{\sin C}{\sin\gamma}\cdot$$

Preuve. Soit ${\bf u}$, ${\bf v}$ et ${\bf w}$ les vecteurs normés obtenus en divisant $\overrightarrow{PP'}$, $\overrightarrow{PQ}$ et $\overrightarrow{PR}$ par leurs longueurs respectivement. On a ${\bf u}.{\bf v}=\cos\beta$, ${\bf v}.{\bf w}=\cos\alpha$ et ${\bf w}.{\bf u}=\cos\gamma$. On a aussi

$$\cos A = \frac{{\bf u}\wedge{\bf v}}{\sin \beta}\cdot\frac{{\bf u}\wedge{\bf w}}{\sin \gamma}$$

et

$$\sin A = \frac{\vert({\bf u}\wedge{\bf v})\wedge({\bf u}\wedge{\bf w})\vert}{\sin \beta\sin \gamma}\cdot$$

En effet, ${\bf u}\wedge{\bf v}$ et $\overrightarrow{P'Q}$ sont orthogonaux, de même que ${\bf u}\wedge{\bf w}$ et $\overrightarrow{P'R}$ et l'on peut appliquer la propriété des angles à côtés perpendiculaires (cf. Proposition 3.1(^4.5)). Le reste consiste en des manipulations convenbables des produits vectoriels.

Il vient d'abord,

$$\sin\beta\sin\gamma\cos A=\lbrack{\b... ...\bf v})\wedge{\bf u}).{\bf w}={\bf v}.{\bf w}-{\bf u}.{\bf v}\ {\bf u}.{\bf w}$$

ce qui donne la première formule. Ensuite, puisque

$$\vert({\bf u}\wedge{\bf v})\wedge({\... ...\bf v}).{\bf u}\ {\bf w}\vert=\vert\lbrack{\bf u},{\bf v},{\bf w}\rbrack\vert,$$

on constate que

$$\frac{\sin A}{\sin\alpha}=\frac{\vert\lbrack{\bf u},{\bf v},{\bf w}\rbrack\vert}{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}$$

est symétrique en les données, ce qui prouve la seconde relation.$\qed$

Remarque 4.4.5   Les formules qui viennent d'être établies sont les formules fondamentales de la trigonométrie sphérique: une sphère (voir ci-dessous) de centre $P$ coupe $PP'$, $PQ$ et $PR$ en trois points formant un triangle sphérique, dont $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ sont les côtés et $A$, $B$ et $C$ les angles.

Figure: Angle et côté d'un triangle sphérique...