4.4.2.1 Distance d'un point à un hyperplan

Soient un point $P$ et un hyperplan $\alpha$ déterminé par un de ses points $A$ et une de ses normales ${\bf n}$. Supposons $P$ extérieur à $\alpha$. L'idée pour calculer la distance $d(P,\alpha)$ entre $P$ et $\alpha$ est de choisir un point $Q$ de $\alpha$ pour que la droite $PQ$ lui soit perpendiculaire. Pour tout $X\in\alpha$, le triangle $XPQ$ étant alors rectangle en $Q$, on a en effet

$$\vert PX\vert^2=\vert PQ\vert^2+\vert QX\vert^2\ge\vert PQ\vert^2$$

si bien que $d(P,\alpha)=\vert PQ\vert$. Le point cherché est nécessairement de la forme $P+t{\bf n}$, où $t$ est choisi pour que

$$\overrightarrow{AQ}.{\bf n}=\overrightarrow{AP}.{\bf n}+t\vert{\bf n}\vert^2=0.$$

Il y a donc un seul point répondant à la question et

$$d(P,\alpha)=\frac{\vert\overrightarrow{AP}.{\bf n}\vert}{\vert{\bf n}\vert},$$

formule qui convient évidemment aussi lorsque $P$ est un point de $\alpha$.

Le point $Q$ en lequel la distance entre $P$ et $\alpha$ est réalisée s'appelle la projection orthogonale de $P$ sur $\alpha$ (c'est donc $P$ si celui-ci appartient à $\alpha$). On la note $pr_\alpha^\perp(P)$. Quand l'hyperplan est donné par une équation cartésienne $a_1x_1+\cdots +a_nx_n+b=0$ dans un repère orthonormé dans lequel les cordonnées de $P$ sont $p_1, \ldots ,p_n$, l'expression ci-dessus prend une forme particulièrement simple

$$d(P,\alpha)=\frac{\vert a_1p_1+ \cdots +a_np_n+b\vert}{\sqrt{a_1^2+ \cdots +a_n^2}}\cdot$$

En effet, on peut prendre pour ${\bf n}$ le vecteur de composantes $a_1, \ldots ,a_n$ et si $x_1, \ldots, x_n$ sont les coordonnées de $A$, on a

$$\overrightarrow{AP}.{\bf n}=a_1(p_1-x_1)+Ê\cdots +a_n(p_n-x_n)=a_1p_1+ \cdots +a_np_n+b.$$

Figure 4: $d(X,P)\ge d(Q,P)$.