6.2.2.1 Cas d'un seul paramètre

Si $f$ n'a qu'un argument, $t$, cela n'a plus beaucoup d'intérêt de le dériver dans une direction $\mu\in{\rm I\!R}$. On utilise plus directement sa dérivée par rapport à $t$ qui est donnée par, si elle existe,

$$\frac{df}{dt}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\overrightarrow{f(t)f(t+h)}=\lim_{h\to0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}\in\overrightarrow{{\mathcal E}}.$$

Dans un repère, les composantes de ce vecteur sont les dérivées par rapport à $t$ des coordonnées de $f$:

$$(\frac{df_1}{dt}, \cdots ,\frac{df_n}{dt})\cdot$$

Figure: La dérivée de $f$ est un vecteur.

Remarque 6.2.5   On adapte facilement ce qui précède pour définir les dérivées de fonctions à valeurs dans ou définies sur un espace vectoriel. Cela permet par exemple de dériver $\frac{df}{dt}$ et d'introduire ainsi les dérivées d'ordre supérieur de $f$.

Remarque 6.2.6   On étend la notion de fonction dérivable sur un intervalle fermé borné en considérant, aux extrémités de celui-ci, les dérivées à gauche et à droite.

Il est parfois commode de noter $f'$, $f''$, $f'''$, etc. les dérivées successives de $f$ par rapport à $t$.

Proposition 6.2.7   Soient des fonctions ${\bf u}$, ${\bf v}$, ${\bf w}$ définies sur un intervalle $I\subset{\rm I\!R}$ et à valeurs dans un espace vectoriel Euclidien $E$ (de dimension $3$ et orienté le cas échéant). Si elles sont dérivables dans $I$, alors ${\bf u}.{\bf v}$, ${\bf u}\wedge{\bf v}$ et $\lbrack{\bf u},{\bf v},{\bf w}\rbrack$ sont dérivables dans $I$ et

$$% latex2html id marker 33938\begin{array}{lcc} ({\bf u}.{\... ...f w}\rbrack+\lbrack{\bf u},{\bf v},{\bf w}'\rbrack. \end{array}$$

De plus, si ${\bf u}$ est de longueur constante dans $I$, alors ${\bf u}'$ est orthogonal à ${\bf u}$.

Preuve. Les deux premières égalités annoncées résultent immédiatement des expressions du produit scalaire et du produit vectoriel dans une base orthonormée et des règles de calcul usuelles des dérivées. Pour le produit mixte, il vient alors

$$\lbrack{\bf u},{\bf v},{\bf w}\rbrack' = (({\bf u}\wedge{\bf v}).{\bf w})'$$

$$= ({\bf u}\wedge{\bf v})'.{\bf w}+({\bf u}\wedge{\bf v}).{\bf w}'$$

$$= ({\bf u}'\wedge{\bf v}).{\bf w}+({\bf u}\wedge{\bf v}').{\bf w}+({\bf u}\wedge{\bf v}).{\bf w}'$$

$$= \lbrack{\bf u}',{\bf v},{\bf w}\rbrack+\lbrack{\bf u},{\bf v}',{\bf w}\rbrack+\lbrack{\bf u},{\bf v},{\bf w}'\rbrack.$$

Si les ${\bf u}(t)$ sont tous de même longueur, alors la fonction $\vert{\bf u}\vert^2={\bf u}.{\bf u}$ est constante dans $I$ et sa dérivée

$$({\bf u}.{\bf u})'={\bf u}'.{\bf u}+{\bf u}.{\bf u}'=2{\bf u}.{\bf u}'$$

est nulle.$\qed$