3.3.3.1 Produit mixte

Lemme 3.3.2   Soient ${\bf u}$, ${\bf v}$ et ${\bf w}$ de $E$. Le déterminant

$$\left\vert \begin{array}{ccc} {\bf u... ...n{array}{ccc} u_1&v_1&w_1\\ u_2&v_2&w_2\\ u_3&v_3&w_3 \end{array} \right\vert$$ (3.3)

formé des composantes de ${\bf u}$, ${\bf v}$ et ${\bf w}$ dans une base orthonormée positive de $E$ ne dépend pas de celle-ci.

Preuve. En effet, en passant d'une base orthonormée positive ${\mathcal B}$ à une autre ${\mathcal B}'$, les composantes se transforment selon les formules de la Remarque 4.7:

$${\bf u}_{{\mathcal B}'}=A{\bf u}_{\m... ...cal B}'}=A{\bf v}_{\mathcal B}, {\bf w}_{{\mathcal B}'}=A{\bf w}_{\mathcal B},$$

où $A$ est la matrice exprimant ${\mathcal B}$ dans la base ${\mathcal B}'$. Celle-ci est orthogonale car ces bases sont orthonormées. Son déterminant vaut donc $1$ car elles ont même orientation. Par conséquent,

$$% latex2html id marker 31300\left\vert \begin{array}{ccc} ... ... v}_{\mathcal B}&{\bf w}_{\mathcal B} \end{array}\right\vert .$$

$\qed$

En vertu du lemme, le déterminant (17) a un sens géométrique. On l'appelle produit mixte de ${\bf u}$, ${\bf v}$, et ${\bf w}$ et on le note $\lbrack{\bf u},{\bf v},{\bf w}\rbrack$. Ses propriétés se déduisent immédiatement de celles des déterminants vis-à-vis des colonnes. Ainsi

Proposition 3.3.3 (i)   Le produit mixte est linéaire par rapport à chacun de ses arguments.

(ii) Il est antisymétrique: il change de signe quand on échange deux de ses arguments.

(iii) Le produit $\lbrack{\bf u},{\bf v},{\bf w}\rbrack$ est nul si et seulement si ${\bf u}$, ${\bf v}$, et ${\bf w}$ sont linéairement dépendants.

(iv) Quand $\lbrack{\bf u},{\bf v},{\bf w}\rbrack\ne 0$, $({\bf u},{\bf v},{\bf w})$ est une base positive ou négative selon que $\lbrack{\bf u},{\bf v},{\bf w}\rbrack$ est positif ou négatif.

Remarque 3.3.4   Le produit mixte est lié à l'orientation choisie pour $E$. Quand on change l'orientation, il change de signe.