3.3.3.1 Produit mixte

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3.3.3.1 Produit mixte

Lemme 3.3.2 Soient $% latex2html id marker 31268 $ {\bf u}$$ , $% latex2html id marker 31270 $ {\bf v}$$ et $% latex2html id marker 31272 $ {\bf w}$$ de

. Le déterminant

$% latex2html id marker 31276 $\displaystyle \left\vert \begin{array}{ccc} {\bf u... ...n{array}{ccc} u_1&v_1&w_1\\ u_2&v_2&w_2\\ u_3&v_3&w_3 \end{array} \right\vert$$

(3.3)

formé des composantes de $% latex2html id marker 31278 $ {\bf u}$$ , $% latex2html id marker 31280 $ {\bf v}$$ et $% latex2html id marker 31282 $ {\bf w}$$ dans une base orthonormée positive de

ne dépend pas de celle-ci.

Preuve. En effet, en passant d'une base orthonormée positive ${\mathcal B}$ à une autre ${\mathcal B}'$ , les composantes se transforment selon les formules de la Remarque 4.7:

$% latex2html id marker 31290 $\displaystyle {\bf u}_{{\mathcal B}'}=A{\bf u}_{\m... ...cal B}'}=A{\bf v}_{\mathcal B}, {\bf w}_{{\mathcal B}'}=A{\bf w}_{\mathcal B}, $$

où

est la matrice exprimant ${\mathcal B}$ dans la base ${\mathcal B}'$ . Celle-ci est orthogonale car ces bases sont orthonormées. Son déterminant vaut donc

car elles ont même orientation. Par conséquent,

$\begin{displaymath} % latex2html id marker 31300\left\vert \begin{array}{ccc} ... ... v}_{\mathcal B}&{\bf w}_{\mathcal B} \end{array}\right\vert . \end{displaymath}$

$\qed$

En vertu du lemme, le déterminant (17) a un sens géométrique. On l'appelle produit mixte de $% latex2html id marker 31304 $ {\bf u}$$ , $% latex2html id marker 31306 $ {\bf v}$$ , et $% latex2html id marker 31308 $ {\bf w}$$ et on le note $% latex2html id marker 31310 $ \lbrack{\bf u},{\bf v},{\bf w}\rbrack$$ . Ses propriétés se déduisent immédiatement de celles des déterminants vis-à-vis des colonnes. Ainsi

Proposition 3.3.3 (i) Le produit mixte est linéaire par rapport à chacun de ses arguments.

(ii) Il est antisymétrique: il change de signe quand on échange deux de ses arguments.

(iii) Le produit $% latex2html id marker 31313 $ \lbrack{\bf u},{\bf v},{\bf w}\rbrack$$ est nul si et seulement si $% latex2html id marker 31315 $ {\bf u}$$ , $% latex2html id marker 31317 $ {\bf v}$$ , et $% latex2html id marker 31319 $ {\bf w}$$ sont linéairement dépendants.

(iv) Quand $% latex2html id marker 31321 $ \lbrack{\bf u},{\bf v},{\bf w}\rbrack\ne 0$$ , $% latex2html id marker 31323 $ ({\bf u},{\bf v},{\bf w})$$ est une base positive ou négative selon que $% latex2html id marker 31325 $ \lbrack{\bf u},{\bf v},{\bf w}\rbrack$$ est positif ou négatif.

Remarque 3.3.4 Le produit mixte est lié à l'orientation choisie pour

. Quand on change l'orientation, il change de signe.

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2002-12-17