7.8 Surfaces réglées

Une surface réglée $\Sigma$ est l'image $\varphi(I\times{\rm I\!R})$ d'une fonction de classe $C_p$ de la forme

$$\varphi(t,\lambda)=\gamma(t)+\lambda{\bf a}(t), \ (t,\lambda)\in I\times{\rm I\!R},$$ (7.10)

où $(I,\gamma)$ est un paramétrage d'un arc régulier de courbe $\Gamma$, et ${\bf a}(t)\in \overrightarrow{{\mathcal E}}$ pour tout $t\in I$. On suppose de plus que $\partial_t\varphi=\gamma'+\lambda{\bf a}'$ et $\partial_\lambda\varphi={\bf a}$ sont toujours linéairement indépendants. Une surface réglée est donc formée de droites, les génératrices, qui s'appuient sur une directrice $\Gamma$.

L'ensemble $\Sigma$ n'est pas toujours une surface au sens de la définition donnée plus haut car l'application $\varphi$ n'est pas nécessairement injective comme le veut la définition d'un paramétrage. A cause de l'hypothèse sur ses dérivées partielles, elle est cependant injective quand on la restreint à un voisinage suffisamment petit de chaque point $(t_0,\lambda_0)\in I\times{\rm I\!R}$(^7.8). Il est donc légitime de dire que le plan

$$T_{\varphi(t,\lambda)}\Sigma =P+>\gamma'(t)+\lambda{\bf a}'(t),{\bf a}(t)<_l.$$ (7.11)

est tangent à $\Sigma$ en $P=\varphi(t,\lambda)$. Comme pour les tangentes aux arcs de courbes, il peut donc y avoir plusieurs plans tangents à $\Sigma$ en un même point.

Exemple 7.8.1   L'hyperboloïde à une nappe

L'espace étant rapporté à un repère orthonormé, on considère l'ellipse de paramétrage $({\rm I\!R},\gamma(t)=(a\cos t,b\sin t,0))$ et la fonction

$${\bf a}(t)=(a\sin t,- b\cos t, c).$$

La surface réglée décrite par ces données est l'hyperboloïde à une nappe d'équation

$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.$$

On obtient une autre façon de générer le même hyperboloïde en remplaçant ${\bf a}$ par

$${\bf a}(t)=(a\sin t,- b\cos t, -c).$$

Exemple 7.8.2   Le paraboloïde hyperbolique

On considère maintenant la parabole de paramétrage $({\rm I\!R},\gamma(t))=(at,0,\frac{t^2}{2p}))$ et la fonction

$${\bf a}(t)=(a,b,\frac{t}{p}).$$

On obtient de la sorte le paraboloïde hyperbolique d'équation

$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=2pz.$$

On peut aussi l'engendrer à partir de la même directrice et de

$${\bf a}(t)=(a,-b,\frac{t}{p}).$$

Exemple 7.8.3   Les cylindres

Lorsque ${\bf a}$ est constant, les génératrices sont parallèles. Elles engendrent donc un cylindre.

Le vecteur ${\bf a}(t)$ n'est jamais nul. Quitte à le diviser par $\vert{\bf a}\vert$, on peut donc supposer qu'il est de longueur $1$. De même, on peut changer la directrice pour que $\gamma'(t)$ soit toujours orthogonal à ${\bf a}(t)$. Une fois ${\bf a}$ normé, il suffit en effet de remplacer $\gamma$ par

$$\gamma-(\int({\bf a}.\gamma')dt){\bf a}.$$

Dans la suite, nous supposerons donc toujours ${\bf a}$ normé et $\gamma'(t)$ orthogonal à ${\bf a}(t)$.