3.3 Orientation, en dimensions 2 et 3

Il y a généralement deux déterminations de $\varphi$ vérifiant la formule (16) dans $\lbrack0,2\pi\lbrack$ et cette ambiguïté a été levée en précisant que l'angle non orienté de deux vecteurs ${\bf u}$ et ${\bf v}$ doit être compris entre 0 et $\pi$. Intuitivement les deux déterminations représentent malgré tout chacune quelque chose. Elles correspondent aux deux manières de faire pivoter ${\bf u}$ dans le plan vectoriel qu'il forme avec ${\bf v}$(^3.3): dans le ``sens des aiguilles d'une montre" ou dans le sens ``opposé", afin qu'il prenne même direction et même sens que ${\bf v}$. Selon le sens adopté, c'est un angle d'amplitude $\varphi$, ou $2\pi-\varphi$ qui est balayé.

C'est dans le but de modéliser ces deux sens possibles, indispensables dans la description de nombreux phénomènes physiques (éléctricité, magnétisme, gravitation,...), que l'on introduit la notion d'orientation. En dimension $2$, le problème se résume à choisir un des sens de rotation. Un élément supplémentaire vient se greffer en dimension $3$. En effet, toujours intuitivement, en dimension $3$, un plan partage $E$ en deux demi-espaces dont il faut encore préciser lequel est ``au-dessus" de ce plan pour décrire la manière dont on tourne dans celui-ci: le sens d'un même mouvement giratoire plan n'est pas le même ``vu du dessus" que ``du dessous".

Figure: La tête à l'envers...

Sur Terre, quelqu'un définit les ``au-dessus" et ``en-dessous" du lieu où il se trouve grâce à la pesanteur. Le champ magnétique terrestre permet de compléter l'orientation locale en indiquant le nord, l'est et l'ouest étant reconnu grâce à son aptitude à discerner la gauche et la droite. On peut aussi définir l'orientation de la Terre par le champ magnétique qui précise ce qui est au-dessus et en-dessous de l'équateur, le plan de l'équateur étant ensuite orienté à l'aide du mouvement de rotation de la Terre. Tout revient donc à se donner une base locale dont les trois éléments servent à préciser ce qui est ``à gauche, à droite", ``devant, derrière" et ``en haut, en bas". Il est assez clair que deux bases définissent la même orientation lorsqu'on peut appliquer l'une sur l'autre par un mouvement continu.