6.1 Préambule

Les variétés affines sont les prototypes des objets sans courbure. Les sphères, à l'opposé, décrivent diverses qualités de courbures et de trous. La plupart des phénomènes physiques se manifestent par la présence de courbure, d'écart à la rectitude: il faut agir avec une force sur un point matériel pour que sa trajectoire s'écarte d'une droite; en relativité générale, c'est la distribution de matière qui détermine la forme de l'univers, une masse causant une déviation des rayons lumineux transitant dans son voisinage.

L'étude des ``objets courbes" est un des buts de la géométrie différentielle. Ceux de dimension $1$, c'est-à-dire dont les points peuvent être décrits au moyen d'un seul paramètre sont les courbes. Ceux qui nécessitent deux paramètres sont les surfaces.

La courbure est un phénomène ``du second ordre": en première approximation, une ``petite" portion de courbe ou de surface est assimilable sans grosses erreurs à un segment de droite ou à un petit parallélogramme. L'algèbre linéaire avec ses fonctions du premier degré suffit alors à étudier ces portions. Une étude plus fine nécessite une description de la courbe ou de la surface par des fonctions plus sophistiquées dont les dérivées secondes permettent de prendre en considération la courbure locale de l'objet étudié. On fait donc appel aux ressources de l'analyse pour décrire la forme des courbes et des surfaces.