6.2.1 Gradient d'une fonction à valeurs dans ${\rm I\!R}$

Soient une fonction $f:{\mathcal E}\to{\rm I\!R}$ et un repère ${\mathcal R}=(O,({\bf e}_1, \ldots ,{\bf e}_n))$ de ${\mathcal E}$. En remplaçant l'argument $X \in {\mathcal E}$ de $f$ par ses coordonnées dans ${\mathcal R}$, on obtient une fonction $f_{\mathcal R}:{\rm I\!R}^n\to{\rm I\!R}$ qui représente $f$ dans le repère. Par exemple, si $f$ est la fonction qui associe à $X$ le carré de sa distance $d(X,\alpha)^2$ à l'hyperplan $\alpha$ d'équation cartésienne $a_1x_1+\cdots +a_nx_n+b=0$, alors $f_{\mathcal R}$ est la fonction

$$(x_1, \ldots ,x_n)\mapsto\frac{(a_1x_1+ \cdots +a_nx_n+b)^2}{a_1^2+ \cdots +a_n^2}\cdot$$

Nous dirons que $f$ est continu, dérivable, etc. si $f_{\mathcal R}$ l'est au sens usuel de l'analyse. Ces propriétés sont indépendantes du repère ${\mathcal R}$ car si ${\mathcal R}'$ est un autre repère, alors $f_{{\mathcal R}'}$ s'obtient en remplaçant les arguments $x_i$ de $f_{\mathcal R}$ par leur expression en les $x_i'$ qui sont des fonctions du premier degré. Par exemple, dans le cas de la fonction ci-dessus, cela aurait pour effet de remplacer les nombres $a_i$ par d'autres, ce qui ne change rien au fait que l'expression trouvée soit un polynôme du second degré et que, dès lors, $d(X,\alpha)^2$ soit une fonction infiniment continûment dérivable.

Lorsqu'on restreint une fonction $f:{\mathcal E}\to{\rm I\!R}$ à une droite d'équation paramétrique $A+t{\bf u}$, on obtient une fonction d'une variable réelle $t$ dont il est utile d'étudier la dérivabilité éventuelle.

Proposition 6.2.1   Soient une fonction $f:{\mathcal E}\to{\rm I\!R}$ de classe $C_1$ et $X \in {\mathcal E}$. Il existe ${\bf a}\in\overrightarrow{{\mathcal E}}$ tel que

$$\lim_{t\to 0}\frac{f(X+t{\bf u})-f(X)}{t}={\bf a}.{\bf u}$$

pour tout ${\bf u}\in\overrightarrow{{\mathcal E}}$. Les composantes de ${\bf a}$ dans un repère (orthonormé) ${\mathcal R}$ sont les dérivées partielles de $f_{\mathcal R}$:

$$(a_1, \ldots,a_n)=(\frac{\partial{f_{\mathcal R}}}{\partial{x_1}}, \ldots ,\frac{\partial{f_{\mathcal R}}}{\partial{x_n}}).$$

Preuve. En effet, la limite en question est égale à

$$\frac{d}{dt}f_{\mathcal R}(x_1+tu_1, \ldots ,x_n+tu_n)_{\vert _{t=0}},$$

où les $u_i$ sont les composantes de ${\bf u}$. Elle vaut donc, par le théorème de dérivation des fonctions composées,

$$\frac{\partial{f_{\mathcal R}}}{\partial{x_1}}(x_1, \ldots ,x_n)u_1+ \cdots +\frac{\partial{f_{\mathcal R}}}{\partial{x_n}}(x_1, \ldots ,x_n)u_n.$$

Le repère étant orthonormé, elle s'écrit donc sous la forme prévue à condition de prendre

$$a_i=\frac{\partial{f_{\mathcal R}}}{\partial{x_i}}(x_1, \ldots ,x_n)$$

comme annoncé.$\qed$

Le vecteur ${\bf a}$ est le gradient de $f$ au point $X$. On le note ${\rm grad}_Xf$. Le nombre ${\bf a}.{\bf u}={\rm grad}_Xf.{\bf u}$ est la dérivée de $f$ en $X$ dans la direction de ${\bf u}$.

Remarque 6.2.2   Dans la suite, on désignera indifféremment par $f$ la fonction $f$ et sa représentation $f_{\mathcal R}$ dans un repère ${\mathcal R}$. L'ambiguité qui peut résulter de cette convention est vénielle en regard de la simplification d'écriture qu'elle apporte.

Remarque 6.2.3   On est parfois amené à considérer des fonctions $f$ qui ne sont pas définies sur tout ${\mathcal E}$, ou à restreindre une fonction à une partie $\Omega$ de ${\mathcal E}$. Dans ce cas, nous supposerons que $\Omega$ est un ouvert de ${\mathcal E}$, c'est-à-dire Ñ comme en analyse Ñ un ensemble qui est union de boules ouvertes(^6.1). Dans un repère orthonormé de ${\mathcal E}$, les coordonnnées des points d'un tel ensemble décrivent un ouvert de ${\rm I\!R}^n$ puisque le passage aux coordonnées conserve la distance.