2.4.3 Direction

Les points sont de la forme $A+L$, avec $L={\bf0}$. Si $A\ne B$, alors $AB =A+L$, avec $L=>\overrightarrow{AB}<_l$. Enfin, ${\mathcal E}$ lui-même est une variété affine et s'écrit $A+\overrightarrow{{\mathcal E}}$ pour tout $A$. Plus généralement

Proposition 2.4.4   Soient une variété affine non vide ${\mathcal V}\subset {\mathcal E}$ et $A\in {\mathcal V}$. L'ensemble

$$\overrightarrow{{\mathcal V}} = \{\overrightarrow{AX} \ \vert \ X \in {\mathcal V}\}$$

est un sous-espace vectoriel de $\overrightarrow{{\mathcal E}}$. On a

$${\mathcal V}=A+\overrightarrow{{\mathcal V}}$$

et $\overrightarrow{{\mathcal V}}$ ne dépend pas de $A$.

Preuve. (i) L'ensemble $\overrightarrow{{\mathcal V}}$ n'est pas vide car il contient au moins ${\bf0}=\overrightarrow{AA}$.

(ii) Il contient les multiples de ses éléments. En effet soit ${\bf u}\in \overrightarrow{{\mathcal V}}$. Il s'écrit $\overrightarrow{AX}$ pour un $X\in {\mathcal V}$. Si $X \ne A$, alors ${\mathcal V}$ contient tous les points $A+\lambda\overrightarrow{AX}, \ \lambda\in {\rm I\!R}$, de la droite $AX$ si bien que $\overrightarrow{{\mathcal V}}$ contient les multiples de ${\bf u}$. Si $X=A$, c'est encore vrai car alors ${\bf u}={\bf0}$.

(iii) L'ensemble $\overrightarrow{{\mathcal V}}$ contient la somme de ses éléments. Soient ${\bf u}=\overrightarrow{AX},Ê{\bf v}=\overrightarrow{AY} \in \overrightarrow{{\mathcal V}} , X, Y \in {\mathcal V}$. Montrons que ${\bf u}+{\bf v}\in \overrightarrow{{\mathcal V}}$. Si $X=Y$ alors ${\bf u}={\bf v}$ et ${\bf u}+{\bf v}=2{\bf u}\in \overrightarrow{{\mathcal V}}$ en vertu de (ii). Si $X \ne Y$, ${\mathcal V}$ contient le milieu $M=\frac{1}{2}X+\frac{1}{2}Y$ du segment $\lbrack X, Y\rbrack$ de la droite $XY$ et $\overrightarrow{AM} \in \overrightarrow{{\mathcal V}}$. Comme

$${\bf u}+{\bf v}=\overrightarrow{AX}+\overrightarrow{AY}=2\overrightarrow{AM},$$

${\bf u}+{\bf v}\in \overrightarrow{{\mathcal V}}$, de nouveau en vertu de (ii).

Figure: La droite ${\mathcal D}_{A,Z}$ passe par le milieu de $\lbrack X, Y\rbrack$ qui est aussi celui de $\lbrack A, Z\rbrack$

(iv) Il est clair que ${\mathcal V}=A+\overrightarrow{{\mathcal V}}$. Par la Proposition 4.3, $\overrightarrow{{\mathcal V}}$ est donc indépendant de $A$.$\qed$

Les éléments de $\overrightarrow{{\mathcal V}} \setminus {\bf0}$ sont appelés vecteurs-directeurs, principalement quand ${\mathcal V}$ est une droite.

Figure: Une droite caractérisée par un point et un vecteur directeur.

Le sous-espace $\overrightarrow{{\mathcal V}}$ s'appelle le sous-(espace) vectoriel directeur ou encore la direction de ${\mathcal V}$. La dimension, notée ${\rm dim}\ {\mathcal V}$, de ${\mathcal V}$ est celle de $\overrightarrow{{\mathcal V}}$ (^2.1). Les droites sont les variétés affines de dimension $1$ (^2.2). On appelle plans et hyperplans les variétés affines de dimension $2$ et ${\rm dim}\ {\mathcal E}-1$ respectivement.

Des variétés affines ${\mathcal V}$ et ${\mathcal V}'$ sont parallèles quand leurs sous-vectoriels directeurs sont égaux, ce qu'on note ${\mathcal V}/\!/ {\mathcal V}'$. (En dimension 3, on dit encore qu'une droite et un plan son parallèles quand le sous-vectoriel directeur de la droite est contenu dans celui du plan.) Elles sont gauches quand elles sont disjointes et quand aucune n'a son sous-vectoriel directeur contenu dans celui de l'autre.