3.2.3 Bases orthonormées

Le fait que $E$ soit muni d'un produit scalaire incite à privilégier les bases dans lesquelles l'expression de ce produit soit simple.

Dans une base quelconque ${\mathcal B}=({\bf e}_1, \ldots ,{\bf e}_n)$, à cause de la linéarité du produit par rapport à ses facteurs,

$$(u_1{\bf e}_1+ \cdots +u_n{\bf e}_n).(v_1{\bf e}_1+ \cdots +v_n{\bf e}_n)=\Sigma_{i,j}u_iv_j{\bf e}_i.{\bf e}_j$$

de sorte qu'il est déterminé par les produits $g_{ij}={\bf e}_i.{\bf e}_j$ des éléments de ${\mathcal B}$. Son expression est d'autant plus simple qu'un maximum de $g_{ij}$ sont nuls. On dit que ${\mathcal B}$ est une base orthogonale si ses éléments sont deux à deux orthogonaux:

$$i\ne j \Rightarrow {\bf e}_i.{\bf e}_j=0$$

Elle est orthonormée si, de plus, ses éléments sont normés: $\vert{\bf e}_i\vert=1$, pour tout $i$. Dans ce cas, le passage aux composantes transforme le produit scalaire de $E$ en celui de ${\rm I\!R}^n$ dont, bien entendu, la base canonique est orthonormée.

Nous admettrons sans le prouver que $E$ admet des bases orthonormées. (Ce n'est pas difficile à vérifier mais cela ne nous apporterait rien de significatif de le faire en détail.)

Remarque 3.2.3   La matrice exprimant le changement de coordonnées résultant d'un changement de bases orthonormées de $E$ est orthogonale. Ses colonnes sont en effet formées des composantes des vecteurs de l'une d'elles exprimés dans l'autre (cf. Remarque 4.7). En particulier, le déterminant de cette matrice est $1$ ou $-1$.

Proposition 3.2.4   Des vecteurs ${\bf u}_i$ non nuls et orthogonaux deux à deux sont linéairement indépendants.

Preuve. Le produit scalaire de la relation

$$\lambda_1{\bf u}_1+ \cdots + \lambda_p{\bf u}_p={\bf0},$$

par ${\bf u}_i$ donne $\lambda_i\vert{\bf u}_i\vert^2=0$. Puisque ${\bf u}_i$ n'est pas nul, cela implique $\lambda_i=0$.$\qed$

Les composantes $u_i$ de ${\bf u}$ dans une base orthonormée ${\mathcal B}$ sont données par

$$u_i={\bf u}.{\bf e}_i, \ i=1, \ldots , n.$$

Ce sont donc les mesures algébriques des projections orthogonales de ${\bf u}$ sur les ${\bf e}_i$. En particulier, si ${\bf u}$ est normé, alors il est donné par ses cosinus directeurs

$${\bf u}_{\mathcal B}=(\cos \varphi_1, \ldots ,\cos \varphi_n),$$

où $\varphi_i$ est l'angle qu'il fait avec ${\bf e}_i$.