7.2.0.1 Paramétrage

Un paramétrage (de dimension $2$) est la donnée $(U,\varphi)$ d'une application de classe $C_p$ d'un ouvert $U$ de ${\rm I\!R}^2$ dans ${\mathcal E}$, injective et dont la dérivée $\varphi_*$ est injective partout dans $U$.

Dans un repère ${\mathcal R}$ de ${\mathcal E}$, les trois composantes $\varphi_i:U\to{\rm I\!R}$, $i=1,2,3$, de $\varphi$ sont des fonctions de classe $C_p$ et la condition sur $\varphi_*$ signifie très exactement que les vecteurs

$$\partial_u\varphi = (\partial_u\varphi_1,\partial_u\varphi_2,\partial_u\varphi_3)$$

$$\partial_v\varphi = (\partial_v\varphi_1,\partial_v\varphi_2,\partial_v\varphi_3)$$

sont linéairement indépendants en tout point $(u,v)$ de $U$. Cette condition s'écrit aussi

$$\partial_u\varphi\wedge\partial_v\varphi\ne{\bf0}$$ (7.1)

Lorsque les paramètres $u$ et $v$ sont deux des coordonnées, on dit que $(U,\varphi)$ est un paramétrage par des coordonnées. Par exemple, si $u=x$ et $v=y$, alors $\varphi$ est de la forme

$$(x,y)\mapsto (x,y,f(x,y))$$

où $f$ est une fonction de classe $C_p$. La condition (32) est alors automatiquement satisfaite puisque

$$\partial_x\varphi\wedge\partial_y\varphi=(-\partial_xf,-\partial_yf,1).$$

Figure: Paramétrage par des coordonnées.

Figure: Paramétrage quelconque.