4.2 Espace affine Euclidien

Un espace affine Euclidien (orienté) est un espace affine ${\mathcal E}$ modelé sur un espace vectoriel Euclidien (orienté).

Dans la suite de ce chapitre, ${\mathcal E}$ désigne un espace affine Euclidien. On le rapportera toujours à des repères orthonormés c'est-à-dire dont la base est orthonormée dans $\overrightarrow{{\mathcal E}}$. Dans un premier temps, la dimension $n$ de ${\mathcal E}$ est quelconque car les formules obtenues sont générales. Par la suite, on supposera plus spécifiquement que ${\mathcal E}$ est de dimension $2$ ou $3$.

La direction d'une droite est spécifiée par un de ses vecteurs-directeurs qu'au besoin on peut normer. La direction d'un hyperplan $\alpha$ est aussi déterminée par un vecteur non nul éventuellement normé. Le sous-vectoriel directeur de $\alpha$ est en effet déterminé par une quelconque de ses normales ${\bf n}$ (^4.1)(Exemple 2.6).

Notons aussi que si $a_1x_1+\cdots +a_nx_n+b=0$ est une équation cartésienne de $\alpha$ dans un repère orthonormé quelconque, alors $a_1, \ldots ,a_n$ sont les composantes d'un tel ${\bf n}$ (Exemple 2.6).