6.3.1.1 Paramétrages

Un paramétrage (de dimension $1$)(^6.2) est la donnée $(I,\gamma)$ d'un intervalle $I$ de nombre réels et d'une fonction $\gamma:I\to{\mathcal E}$ de classe $C_p$ telle que

$${\frac{d{\gamma}}{dt}}(t)\ne{\bf0},$$

pour tout $t\in I$.

Remarque 6.3.1   Cette condition peut sembler restrictive. Le problème est d'éviter qu'à l'instar de la description $P(t)$ d'un mouvement, un paramétrage contienne d'autres informations que celles qui concernent strictement les propriétés géométriques de ce qu'il décrit. Par exemple, même lors d'un mouvement rectiligne, un point matériel peut être amené à rebrousser chemin. Au moment où il change le sens de son déplacement, sa vitesse s'annule. Elle ne contient alors plus d'information géométrique car direction et sens sont indéfinis pour le vecteur ${\bf0}$. De plus, la condition ${\frac{d{\gamma}}{dt}}\ne{\bf0}$ garantit qu'au moins localement, à des valeurs différentes des paramètres correspondent des points différents (^6.3), ce qui est assez légitime.

Des paramétrages $(I,\gamma)$ et $(J,\eta)$ sont équivalents s'il existe une bijection $\varphi:I\to J$ de classe $C_p$ et telle que $\gamma=\eta\circ\varphi$ (^6.4), c'est-à-dire

$$\gamma(t)=\eta(\varphi(t)), \ \forall \ t\in I.$$

Ils ont alors même image: $\gamma(I)=\eta(J)$. La fonction $\varphi$ est le changement de paramètres.