6.4.3.1 Les coniques proprement dites

L'ellipse, la parabole et l'hyperbole sont étudiées à l'école secondaire. En voici une présentation rapide et unifiée, basée sur les notions de directrice, foyer et excentricité qui s'avère très utile dans l'étude du problème des deux corps, et en particulier dans la description du mouvement des planètes.

Figure: Coniques définies par foyer et directrice.

Proposition 6.4.6   Soient une droite ${\mathcal D}$, un point $F$ non situé sur ${\mathcal D}$ et un nombre positif $e$. Le lieu des points $P$ de ${\mathcal E}$ tels que $d(P,F)=ed(P,{\mathcal D})$ est une conique dont $F$ est un foyer et dont la perpendiculaire à ${\mathcal D}$ issue de $F$ est un axe de symétrie. C'est une ellipse, une parabole ou une hyperbole selon que $e<1$, $e=1$ ou $e>1$ respectivement.

Preuve. Soit $O$ le point de percée de la perpendiculaire ${\mathcal D}'$ abaissée de $F$ sur ${\mathcal D}$, ${\bf e}_1$ un vecteur-directeur normé de ${\mathcal D}'$ orienté de $O$ vers $F$, et ${\bf e}_2$ un vecteur-directeur normé de ${\mathcal D}$ formant avec ${\bf e}_1$ une base positive. Dans le repère $(O,({\bf e}_1,{\bf e}_2))$, l'équation du lieu est

$$\sqrt{(x-l)^2+y^2}=e\vert x\vert$$

où $l$ est la distance de $F$ à ${\mathcal D}$. Après élévation des deux membres au carré et transformations, on obtient l'équation équivalente

$$(1-e^2)x^2-2lx+y^2+l^2=0.$$ (6.6)

Si $e=1$, le lieu est par définition une parabole de directrice ${\mathcal D}$ et de foyer $F$. Ceci est confirmé par la forme familière $y^2=2l(x-\frac{l}{2})$ à laquelle se réduit alors l'équation ci-dessus(^6.11). Lorsque $e\ne 1$, l'équation (28) peut se réécrire en

$$(x-\frac{l}{1-e^2})^2+\frac{y^2}{1-e^2}=\frac{l^2e^2}{(1-e^2)^2}\cdot$$

La conclusion est alors évidente.$\qed$

La droite ${\mathcal D}$ s'appelle la directrice de foyer $F$ et $e$ est l'excentricité.

Lorsque $e\ne 1$, on ramène aisément l'équation précédente du lieu à la forme canonique:

$$\frac{x^2}{a^2}±\frac{y^2}{b^2}=1$$

en translatant l'origine du repère en le point de coordonnées $(\frac{l}{1-e^2},0)$. Le demi ``grand axe" $a$, le demi ``petit axe" $b$ et la moitié $c$ de la distance entre les foyers sont alors donnés par les formules

$$% latex2html id marker 35300\begin{array}{rcl} a&=&\frac{p... ... 1-e^2\vert}},\\ c&=&\frac{pe}{\vert 1-e^2\vert}, \end{array}$$

où $p=le$. On remarque aussi que

$$% latex2html id marker 35304\begin{array}{rcl} e&=&\frac{c... ...(F,{\mathcal D})&=&\frac{\vert 1-e^2\vert}{e}a\cdot \end{array}$$

En particulier, lorsque $a$ est constant mais que $e$ devient de plus en plus petit, $d(F,{\mathcal D})$ grandit de plus en plus tandis que $b$ se rapproche de $a$. Cela fait dire que les cercles sont des ellipses d'excentricité nulle dont la directrice est ``rejetée à l'infini".