2.7.2 Equations cartésiennes

Soient encore une variété affine ${\mathcal V}$, de dimension $p$, et $A\in {\mathcal V}$. Considérons des équations cartésiennes

$$\left \{ \begin{array}{lcl} a_{11}u_... ... 0\\ &\vdots& \\ a_{n-p,1}u_1 + \cdots +a_{n-p,n}u_n &=&0 \end{array} \right.$$ (2.5)

décrivant $\overrightarrow{{\mathcal V}}$ dans la base ${\mathcal B}=({\bf e}_1, \ldots ,{\bf e}_n)$. Pour rappel, les vecteurs des coefficients de ces équations sont linéairement indépendants. Comme plus haut, on désigne encore par ${\bf x}$ et ${\bf a}$ les coordonnées de $X$ et $A$. Cette fois, $X$ appartient à ${\mathcal V}$ si et seulement si les composantes $u_i$ de ${\bf u}= \overrightarrow{AX}$ sont solutions de (13), c'est-à-dire si

$$a_{i1}(x_1-a_1)+ \cdots + a_{in}(x_n-a_n)=0, \ i=1, \ldots ,n-p.$$

En posant

$$b_i=-a_{i1}a_1- \cdots --a_{in}a_n$$

on obtient ainsi des équations cartésiennes de ${\mathcal V}$:

$$% latex2html id marker 30335\left \{ \begin{array}{lcl} a_... ...,1}x_1 + \cdots +a_{n-p,n}x_n + b_{n-p}&=&0 \end{array}\right.$$

Inversement, on peut vérifier que les points dont les coordonnées sont solutions d'un système de $n-p$ équations du premier degré indépendantes forment une variété affine de dimension $p$. Il est utile de noter que les équations homogènes associées sont alors des équations cartésiennes du sous-vectoriel directeur de cette variété affine.