1.5.4 Equations cartésiennes

Soit une une base ${\mathcal B}=({\bf e}_1, \ldots , {\bf e}_n)$ de $E$. On cherche des équations homogènes du premier degré

$$a_1x_1 + \cdots +a_nx_n=0$$ (1.3)

en les composantes $x_1, \ldots, x_n$ de ${\bf x} \in E$ selon ${\mathcal B}$ qui caractérisent le fait que ${\bf x}$ appartienne à un sous-espace vectoriel $V$ de $E$ donné.

L'équation (3) est complètement déterminée par le vecteur $(a_1, \ldots , a_n)$ de ses coefficients. Quand on additionne membre à membre des équations telles que (3), ou quand on en multiplie les membres par un même nombre, les vecteurs des coefficients subissent les mêmes opérations.

On désigne par $V_{\mathcal B}^\perp$ la partie de ${\rm I\!R}^n$ formée par les vecteurs des coefficients des équations de la forme (3) qui sont satisfaites par les composantes des éléments de $V$ (dans la base ${\mathcal B}$). C'est un sous-espace vectoriel de ${\rm I\!R}^n$ car en additionnant ou en multipliant par des nombres des équations satisfaites par les composantes des éléments de $V$, on en obtient qui le sont aussi.

Proposition 1.5.9   On a $dim \ V_{\mathcal B}^\perp = n- dim \ V$.

Preuve. Il existe une base ${\mathcal B'}=({\bf e'}_1, \ldots , {\bf e'}_n)$ de $E$ dont les premiers éléments $({\bf e'}_1, \ldots , {\bf e'}_p)$ forment une base de $V$ (Proposition 5.8). En particulier, $V = \ >{\bf e'}_1, \ldots ,{\bf e'}_p<_l$ et ${\bf x}$ de composantes $(x_1', \ldots , x_n')$ dans la base ${\mathcal B'}$ appartient à $V$ si et seulement si

$$x_{p+1}'=0, \ldots , x_n'=0.$$ (1.4)

Lors du passage de la base ${\mathcal B}$ à la base ${\mathcal B'}$, les composantes de ${\bf x}$ selon ${\mathcal B'}$ s'expriment au moyen de fonctions homogènes du premier degré en ses composantes dans ${\mathcal B}$,

$$x_i'=t_{i1}x_1+\cdots+t_{in}x_n, \ i=1, \ldots ,n$$

dont les vecteurs des coefficients sont linéairement indépendants (Proposition 4.6). Les conditions (4), c'est-à-dire le fait que ${\bf x}\in V$, équivalent donc aux $n-p$ équations indépendantes

$$\left \{ \begin{array}{lll} t_{p+1,1... ..._n &=& 0\\ &\vdots& \\ t_{n1}x_1 + \cdots +t_{nn}x_n &=&0 \end{array} \right.$$ (1.5)

Ceci montre que la dimension de $V_{\mathcal B}^\perp$ est au moins égale à $n-p$.

Supposons par ailleurs que

$$a_1x_1 + \cdots +a_nx_n=0$$ (1.6)

quand ${\bf x}\in V$. Puisque les $x_i$ sont, semblablement, des fonctions homogènes du premier degré en les $x_i'$, cette condition prend la forme

$$b_1x_1' + \cdots +b_nx_n'=0.$$

Elle doit être satisfaite pour ${\bf x}\in V$, c'est-à-dire lorsque (4) est vérifié. Cela revient à demander que

$$\forall x_1', \ldots ,x_p' \in{\rm I\!R}: \ b_1x_1' + \cdots +b_px_p'=0$$

donc que $b_1= \cdots = b_p = 0$. L'équation (6) s'écrit donc encore

$$b_{p+1}x_{p+1}' + \cdots +b_nx_n'=0$$

soit

$$b_{p+1}(t_{p+1,1}x_1 + \cdots +t_{p+1,n}x_n) + \cdots +b_n(t_{n1}x_1 + \cdots +t_{nn}x_n)=0.$$

Le vecteur de ses coefficients est donc combinaison linéaire de ceux des équations (5). Par conséquent, la dimension de $V_{\mathcal B}^\perp$ est $n-p$.$\qed$

La proposition ci-dessus montre que les sous-espaces vectoriels $V$ de dimension $p$ de $E$ sont exactement décrits par les systèmes de $n-p$ équations homogènes du premier degré indépendantes:

$$\left \{ \begin{array}{lcl} a_{11}x_... ... 0\\ &\vdots& \\ a_{n-p,1}x_1 + \cdots +a_{n-p,n}x_n &=&0 \end{array} \right.$$ (1.7)

les vecteurs formés par les lignes du tableau

$$% latex2html id marker 28419\left ( \begin{array}{lccl} a_... ...\vdots \\ a_{n-p,1} & \cdots & a_{n-p,n} \end{array}\right )$$

étant linéairement indépendants. De telles équations sont appelées cartésiennes. De plus, toute équation linéaire satisfaite par les composantes des éléments de $V$ est nécessairement combinaison linéaire des équations (7).