6.4.2 Equation cartésienne

On peut écrire

$$\Gamma_f=\{(x,y)\in I\times{\rm I\!R}:y-f(x)=0\}$$

faisant ainsi apparaître la condition $F(x,y)=y-f(x)=0$ liant les coordonnées d'un point de ${\mathcal E}$ pour qu'il appartienne à $\Gamma_f$. Cette relation est très simple car elle fournit explicitement l'une des coordonnées en fonction de l'autre. Pour un arc paramétré de courbe quelconque, on peut encore espérer exprimer la condition nécessaire et suffisante que doivent satisfaire les coordonnées d'un point pour qu'il soit situé sur l'arc sous la forme d'une équation implicite $F(x,y)=0$ mais on doit s'attendre à ce qu'elle soit plus compliquée.

Dans le cas du cercle (23), on peut prendre $F=x^2+y^2-r^2$ à laquelle on peut donner localement la forme d'un graphe, en résolvant par rapport à $x$ où à $y$. Par exemple, la solution

$$y=\sqrt{r^2-x^2}$$

décrit les points du cercle dont l'ordonnée est positive ou nulle. Elle n'est pas prolongeable de manière dérivable dans un intervalle plus grand. Pour prendre en compte toutes les solutions de l'équation $x^2+y^2=r^2$, il faut donc considérer plusieurs graphes.

On démontre en analyse que si $F(x,y)$ est de classe $C_p$ dans un ouvert $\Omega\subset{\rm I\!R}^2$, et si ${\rm grad}\ F\ne{\bf0}$ quand $F=0$, alors s'il n'est pas vide, l'ensemble

$$\Gamma=\{(x,y)\in\Omega: F(x,y)=0\}$$

peut être localement paramétré par une des coordonnées, au moyen de fonctions de classe $C_p$. Plus précisément il l'est par $x$ quand $\partial_yF\ne0$ et par $y$ quand $\partial_xF\ne0$. De plus, les différents paramétrages obtenus sont localement équivalents. C'est donc une union d'arcs paramétrés de courbes qui se raccordent sans discontinuité. Par extension, on appellera encore cet ensemble arc régulier de courbe. L'équation $F=0$ qui traduit exactement les conditions que doivent vérifier les coordonnées d'un point de $\Omega$ pour lui appartenir est une équation cartésienne de l'arc. On appelle alors paramétrage local de $\Gamma$ tout paramétrage $(I,\gamma)$ tel que $\gamma(I)\subset\Omega$ et $F\circ\gamma=0$.

Exemple 6.4.3   Les droites

Une équation cartésienne $ax+by+c=0$, au sens des chapitres précédents, d'une droite ${\mathcal D}$ est aussi une équation cartésienne au sens que l'on vient de définir: on prend $\Omega={\rm I\!R}^2$, dans lequel le gradient $(a,b)$ de $F(x,y)=ax+by+c$ n'est pas nul.

Exemple 6.4.4   Les cercles

Comme ${\rm grad}\ ((x-x_0)^2+(y-y_0)^2-r^2)=2(x-x_0,y-y_0)$, la fonction $F=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2-r^2$ restreinte à $\Omega={\rm I\!R}^2\setminus (x_0,y_0)$ fournit une équation cartésienne du cercle de rayon $r$ et de centre $P_0=(x_0,y_0)$ (^6.8).

Si $(I,\gamma=(\gamma_x,\gamma_y))$ est un paramétrage local de $\Gamma$, alors en dérivant l'identité $F\circ\gamma(t)=0$, on obtient

$$\partial_xF\gamma_x'+\partial_yF\gamma_y'=({\rm grad}_\gamma F).\gamma'=0$$

qui montre que ${\rm grad}_\gamma F$ est orthogonal au vecteur tangent $\gamma'$ en $\gamma$ tandis que le vecteur de composantes $(-\partial_yF,\partial_xF)$ est un multiple $\alpha$ de $\gamma'$. Comme plus haut dans le cas du graphe d'une fonction, on peut donc obtenir des vecteurs tangent et normal à $\Gamma$ en $P=\gamma(t)$ formant une base positive:

$${\bf t}=(\partial_yF,-\partial_xF)/\... ...m grad}_P F\vert \ {\rm et} \ {\bf n}={\rm grad}_P F/\vert{\rm grad}_P F\vert.$$

Selon le signe de $\alpha$, ce sont les vecteurs correspondant de $\gamma$ ou leurs opposés. Comme ils sont exprimés de manière indépendante de $\gamma$, nous conviendrons d'orienter $\Gamma$ dans le sens de ${\bf t}$ (^6.9).