Théorème 2.5.1
(Thalès)
Soient des plans , et un point n'appartenant à aucun d'eux.
Les plans et sont parallèles si et seulement si le rapport de section de
par rapport à et ne dépend pas de
.
Preuve. Supposons que les plans et ne soient pas parallèles. Ils se coupent en une droite le long de laquelle le rapport de section de
par rapport à et est . En dehors de cette droite, ce rapport est différent de car .
Supposons les plans et parallèles. Soient des points distincts et de
et leurs projections
,
. Les droites et du plan ne se coupent pas car
et sont disjoints. Elles sont donc parallèles.
En particulier, leurs vecteurs-directeurs sont proportionnels:
.
Avec
et
, ceci donne
Les vecteurs
et
sont linéairement indépendants car et
. Par conséquent,
.
Figure:
Quand et sont parallèles,
et
le sont aussi.
Remarque 2.5.2
Le théorème de Thalès est vrai en dimension quelconque
pour des hyperplans. En particulier, il s'applique aux droites d'un
plan.