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2.5.1.2 Le théorème de Thalès

Figure: $ \alpha $ et $ \alpha '$ ne sont pas parallèles: $ \sigma_{S,A}(A')\ne\sigma_{S,B}(B')$.
\includegraphics{FIG18.EPS}

Théorème 2.5.1   (Thalès) Soient des plans $ \alpha $, $ \alpha '$ et un point $ S$ n'appartenant à aucun d'eux. Les plans $ \alpha $ et $ \alpha '$ sont parallèles si et seulement si le rapport de section de % latex2html id marker 29692
$ A'={\rm pr}_{S,\alpha'}(A)$ par rapport à $ S$ et $ A$ ne dépend pas de $ A\in \alpha$.

Preuve. Supposons que les plans $ \alpha $ et $ \alpha '$ ne soient pas parallèles. Ils se coupent en une droite le long de laquelle le rapport de section de $ A'$ par rapport à $ S$ et $ A$ est $ (0:1)$. En dehors de cette droite, ce rapport est différent de $ (0:1)$ car $ A'\ne A$. Supposons les plans $ \alpha $ et $ \alpha '$ parallèles. Soient des points distincts $ A$ et $ B$ de $ \alpha $ et leurs projections % latex2html id marker 29726
$ A'={\rm pr}_{S,\alpha'}(A)$, % latex2html id marker 29728
$ B'={\rm pr}_{S,\alpha'}(B)$. Les droites $ AB$ et $ A'B'$ du plan $ \pi_{SAB}$ ne se coupent pas car $ \alpha $ et $ \alpha '$ sont disjoints. Elles sont donc parallèles. En particulier, leurs vecteurs-directeurs sont proportionnels: $ \overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{AB}$. Avec $ \overrightarrow{SA'}=\lambda\overrightarrow{SA}$ et $ \overrightarrow{SB'}=\mu\overrightarrow{SB}$, ceci donne

$\displaystyle \mu\overrightarrow{SB}-\lambda\overrightarrow{SA}=k\overrightarrow{SB}-k\overrightarrow{SA}.
$

Les vecteurs $ \overrightarrow{SA}$ et $ \overrightarrow{SB}$ sont linéairement indépendants car $ A\ne B$ et $ S \notin \alpha$. Par conséquent, $ k=\lambda=\mu$.$ \qed $

Figure: Quand $ \alpha $ et $ \alpha '$ sont parallèles, $ {\mathcal D}_{A,B}$ et $ {\mathcal D}_{A',B'}$ le sont aussi.
\includegraphics{FIG19.EPS}

Remarque 2.5.2   Le théorème de Thalès est vrai en dimension quelconque pour des hyperplans. En particulier, il s'applique aux droites d'un plan.


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2002-12-17