4.4.1.1 Théorème de Pythagore

L'angle $\hat{A}$ en le sommet $A$ d'un triangle $ABC$ est l'angle non orienté formé par les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. Le triangle est rectangle en $A$ si cet angle vaut $\frac{\pi}{2}$. Lorsque $\hat{C}=\frac{\pi}{2}$, la proposition suivante rend le célèbre théorème de Pythagore.

Proposition 4.4.1   Dans tout triangle $ABC$, on a

$$\vert AB\vert^2=\vert CA\vert^2+\vert CB\vert^2-2\vert CA\vert\vert CB\vert\cos \hat{C}.$$

Preuve. En effet, on a successivement

$$\vert AB\vert^2 = \vert\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\vert^2$$

$$= (\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}).(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})$$

$$= \vert AC\vert^2+2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}+\vert CB\vert^2.$$

D'où la propriété.$\qed$

La formule précédente est vraie aussi quand $A$, $B$ et $C$ sont alignés, $\hat{C}$ valant alors 0 ou $\pi$. Comme

$$\vert\vert CA\vert\vert CB\vert\cos \hat{C}\vert=\vert\overrighta... ...htarrow{CB}\vert\le\vert\overrightarrow{CA}\vert\vert\overrightarrow{CB}\vert,$$

il vient

Proposition 4.4.2   (Inégalité triangulaire) On a toujours

$$\vert AB\vert\le\vert AC\vert+\vert CB\vert$$

l'égalité ayant lieu si et seulement si $A$, $B$, $C$ sont alignés et $C \in [A,B]$.