4.4.2.3 Distance de deux droites gauches

Nous allons exprimer la distance entre deux droites ${\mathcal D}$ et ${\mathcal D}'$ d'équations vectorielles $A+t{\bf u}$ et $A'+t{\bf u}'$ lorsque ${\mathcal E}$ est de dimension trois et orienté. Nous supposons que les droites sont gauches. En particulier, ${\bf u}$ et ${\bf u}'$ sont linéairement indépendants.

La distance entre ${\mathcal D}$ et ${\mathcal D}'$ est la même que celle de $A'$ au plan $\alpha$ contenant ${\mathcal D}$ et parallèle à ${\mathcal D}'$ de sorte que

$$d({\mathcal D},{\mathcal D}')=\frac{... ...rightarrow{AA'},{\bf u},{\bf u}'\rbrack\vert}{\vert{\bf u}\wedge{\bf u}'\vert}$$

puisque ${\bf u}\wedge{\bf u}'$ est une normale à $\alpha$. En effet, d'une part la distance entre $P\in{\mathcal D}$ et $P'\in{\mathcal D}'$ est aussi la distance entre $P+\overrightarrow{P'A'}\in\alpha$ et $A'$ (car la distance est invariante par translation). Donc

$$d(P,P')\ge d(A',\alpha).$$

Ce qui implique $d({\mathcal D},{\mathcal D}')\ge d(A',\alpha)$.

D'autre part, la parallèle à ${\mathcal D}'$ menée par la projection orthogonale $B$ de $A'$ sur $\alpha$ coupe ${\mathcal D}$ en un point $Q$ et la distance entre $A'$ et $B$ est la même que celle séparant $Q$ et $Q'=A'+\overrightarrow{BQ}$. Donc

$$d(A',\alpha)=d(A',B)\ge d({\mathcal D},{\mathcal D}').$$

D'où l'affirmation.

Figure 6: Distance de deux droites gauches...

Il ressort de ce qui précède que $\vert QQ'\vert=d({\mathcal D},{\mathcal D}')$ et que $QQ'$ est perpendiculaire à ${\mathcal D}$ et à ${\mathcal D}'$. C'est la perpendiculaire commune aux deux droites (^4.4).