1.5.1 Définition

suivant: 1.5.2 Exemples monter: 1.5 Sous-espaces vectoriels précédent: 1.5 Sous-espaces vectoriels Table des matières

1.5.1 Définition

Un sous-espace vectoriel de est une partie non vide de telle que

$% latex2html id marker 27988 $\displaystyle {\bf x}+{\bf y} \in V $$

$% latex2html id marker 27990 $\displaystyle \lambda{\bf x} \in V$$

(1.2)

chaque fois que $% latex2html id marker 27992 $ {\bf x}, {\bf y} \in V$$ et $% latex2html id marker 27994 $ \lambda \in {\rm I\!R}$$ .

Proposition 1.5.1 Si

est un sous-espace vectoriel de

, alors $% latex2html id marker 28001 $ {\bf0} \in V$$ et $% latex2html id marker 28003 $ -{\bf x}\in V$$ pour chaque élément $% latex2html id marker 28005 $ {\bf x}$$ de

. En particulier, muni de la somme et de la multiplication scalaire de

est un espace vectoriel.

Preuve. Pour vérifier que $% latex2html id marker 28013 $ {\bf0} \in V$$ , on choisit un élément $% latex2html id marker 28015 $ {\bf a}$$ de

et on applique (2) avec $% latex2html id marker 28019 $ {\bf x}={\bf a}$$ et $\lambda = 0$ :

$% latex2html id marker 28023 $\displaystyle {\bf0}=0 \ {\bf a} \in V. $$

Pour montrer que l'opposé de $% latex2html id marker 28025 $ {\bf x}\in V$$ est dans

, on applique (2) avec $\lambda = -1$ :

$% latex2html id marker 28031 $\displaystyle -{\bf x}=(-1 ){\bf x} \in V. $$

Le reste est alors immédiat. $\qed$

2002-12-17