1.3 Exemples

Exemple 1.3.1   L'ensemble ${\rm I\!R}$

L'addition et la multiplication des nombres réels font évidemment de ${\rm I\!R}$ un espace vectoriel.

Exemple 1.3.2   L'espace ${\rm I\!R}^n$

On note ${\rm I\!R}^n$ l'ensemble de tous les n-uples ${\bf x}=(x_1, \ldots ,x_n)$ de nombres réels $x_1, \ldots, x_n$. Les nombres $x_i$ sont les composantes de ${\bf x}$. Il faut bien prendre conscience de ce que ${\bf x}={\bf y}$ si et seulement si

$$x_1=y_1, \ldots ,x_n=y_n.$$

L'addition et la multiplication scalaire de ${\rm I\!R}^n$ sont définies composantes à composantes, c'est-à-dire par

$$% latex2html id marker 27538\begin{array}{c} (x_1, \ldots ... ..._1, \ldots ,x_n)=(\lambda x_1, \ldots ,\lambda x_n) \end{array}$$

Il est clair que $(0, \ldots ,0)$ est un élément neutre pour cette addition et que l'opposé est donné par

$$-(x_1, \ldots ,x_n)=(-x_1, \ldots ,-x_n).$$

Les opérations introduites sur ${\rm I\!R}^n$ se ramenant aux opérations de mêmes noms sur les composantes, il est immédiat qu'elles font de ${\rm I\!R}^n$ un espace vectoriel.

Exemple 1.3.3   Le produit cartésien d'espaces vectoriels

L'exemple précédent se généralise de la manière suivante. Soient des espaces vectoriels $E_1, \ldots ,E_n$. On note $E_1 \times \ldots \times E_n$ l'ensemble des suites ${\bf x}=({\bf x}_1, \ldots ,{\bf x}_n)$, où ${\bf x}_1 \in E_1$,..., ${\bf x}_n \in E_n$. C'est un espace vectoriel pour les opérations définies par

$$% latex2html id marker 27559\begin{array}{c} ({\bf x}+{\bf... ...{\bf y}_i\\ (\lambda {\bf x})_i=\lambda {\bf x}_i \end{array}$$

Exemple 1.3.4   L'espace ${\mathcal F}(X,E)$

Une fonction $f$ d'un ensemble $X$ dans un ensemble $E$ est une loi qui associe un élément $f(x)$ de $E$ à chaque élément $x$ de $X$. L'ensemble de ces fonctions est désigné par ${\mathcal F}(X,E)$. Si $E$ est un espace vectoriel, alors ${\mathcal F}(X,E)$ en est un aussi, quand on le munit des opérations définies par

$$% latex2html id marker 27584\begin{array}{c} (f+g)(x)=f(x)+g(x)\\ (\lambda f)(x)=\lambda (f(x)). \end{array}$$

Les vérifications sont faciles. Examinons par exemple l'associativité de la multiplication scalaire. Il faut vérifier que si $f \in {\mathcal F}(X,E)$ et si $\lambda, \mu \in {\rm I\!R}$, alors les fonctions $(\lambda\mu)f$ et $\lambda(\mu f)$ sont égales. Or, pour tout $x \in X$, on a

$$((\lambda\mu)f)(x)=(\lambda\mu)f(x)=\lambda(\mu f(x))=(\lambda(\mu f))(x)$$

en utilisant l'associativité de la multiplication scalaire de $E$ pour la seconde égalité. L'élément neutre est la fonction $x \mapsto {\bf0}$ et l'opposé de $f$ est la fonction $x \mapsto -f(x)$.