4.4.4 Les formules d'Appolonius

Les formules d'Appolonius expriment la moyenne des carrés des distances d'un point à des points donnés au moyen des distances de chacun à leur barycentre. Lorsque la somme des poids est nulle, une identité analogue met en jeu le vecteur représenté par la moyenne pondérée de ces points. Divers résultats en découlent parmi lesquels de nombreux lieux géométriques.

Proposition 4.4.9   (Formules d'Appolonius) Soient des points $A_1, \ldots ,A_p$ et des poids $\alpha_1, \ldots ,\alpha_p$.

(i) Si $\alpha_1+ \cdots +\alpha_p=1$, alors pour tout point $X$,

$$\alpha_1\vert XA_1\vert^2+ \cdots +\alpha_p\vert XA_p\vert^2=\alpha_1\vert GA_1\vert^2+ \cdots +\alpha_p\vert GA_p\vert^2+\vert XG\vert^2,$$

où $G$ est le barycentre $\Sigma_i\alpha_iA_i$.

(ii) Si $\alpha_1+ \cdots +\alpha_p=0$, alors pour tous $X, \ Y$,

$$\alpha_1\vert XA_1\vert^2+ \cdots +\... ...t YA_1\vert^2+ \cdots +\alpha_p\vert YA_p\vert^2+2\overrightarrow{XY}.{\bf u},$$

où ${\bf u}$ est le vecteur $\Sigma_i\alpha_iA_i$.

Preuve. On a $\vert XA_i\vert^2=\vert XY\vert^2+2\overrightarrow{XY}.\overrightarrow{YA_i}+\vert YA_i\vert^2$. On multiplie cette relation par $\alpha_i$ puis on additionne membre à membre les égalités ainsi obtenues lorsque $i$ varie de $1$ à $p$. Cela donne immédiatement (ii) quand la somme des $\alpha_j$ est nulle. Quand elle vaut $1$, cela donne (i) pour autant qu'on prenne $Y=G$. $\qed$

Le corollaire suivant est facile à obtenir. Il est laissé comme exercice.

Corollaire 4.4.10   Soient des points $A_1, \ldots ,A_p$, des poids $\alpha_1, \ldots ,\alpha_p$ et $k\in{\rm I\!R}$. Si $\Sigma_i\alpha_i=0$ et si ${\bf u}=\Sigma_i\alpha_iA_i \ne {\bf0}$, alors l'ensemble des points $X$ pour lesquels

$$\alpha_1\vert XA_1\vert^2+ \cdots +\alpha_p\vert XA_p\vert^2=k$$

est un hyperplan admettant de normale ${\bf u}$. Si $\Sigma_i\alpha_i=1$ et $k\ge\Sigma_i\alpha_i\vert GA_i\vert^2$, c'est la sphère de centre $G=\Sigma\alpha_iA_i$ et de rayon $\sqrt{k-\Sigma_i\alpha_i\vert GA_i\vert^2}$. Il est vide quand $\Sigma_i\alpha_i=1$ et $k<\Sigma_i\alpha_i\vert GA_i\vert^2$.

Exemple 4.4.11   L'hyperplan médiateur

Le corollaire appliqué à deux points, avec les poids $1$ et $-1$, montre que l'ensemble des points équidistants de deux points est l'hyperplan passant par le milieu du segment délimité par ces points et perpendiculaire à la droite qu'ils déterminent. On l'appelle l'hyperplan médiateur des deux points.

Exemple 4.4.12   Le théorème de la médiane

D'après le corollaire appliqué avec les deux poids $1/2$ et $1/2$ , les points $X$ d'un plan dont la somme des carrés des distances à deux points $A$ et $B$ est constante est vide ou est un cercle dont le centre est le milieu $M$ du segment joignant $A$ et $B$. Si $C$ forme un triangle avec $A$ et $B$, on a donc, puisque $\vert AM\vert=\vert BM\vert$,

$$\vert CA\vert^2+\vert CB\vert^2=2\vert CM\vert^2+2\vert AM\vert^2=2\vert CM\vert^2+\frac{1}{2}\vert AB\vert^2.$$

C'est le théorème de la médiane.

Proposition 4.4.13   Si $X_0, \ldots ,X_n$ forment un simplexe, alors il appartiennent à une sphère.

Preuve. L'existence de la sphère se démontre par récurrence sur la dimension $n$ de ${\mathcal E}$. Pour $n=1$, c'est immédiat, la sphère étant alors réduite aux deux points $X_0$ et $X_1$, son centre étant le milieu du segment qui les joint. Passons alors "de $n$ à $n+1$". Considérons un simplexe $X_0, \ldots ,X_{n+1}$ et notons $\alpha$ l'hyperplan contenant $X_0, \ldots ,X_n$. Par hypothèse de récurrence, ceux-ci appartiennent à une sphère de $\alpha$. Notons $A$ son centre.

Nous allons voir que l'on peut choisir un point équidistant des $X_i$, $i=0, \ldots ,n+1$, sur la perpendiculaire ${\mathcal D}$ à $\alpha$ passant par $A$.

Remarquons d'abord que les points de ${\mathcal D}$ sont équidistants de $X_0, \ldots ,X_n$. En effet, si $C\in{\mathcal D}$ et $i,j²n$, alors

$$\vert CX_i\vert^2-\vert CX_j\vert^2 = \vert CA\vert^2+2\ \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AX_i}+\ver... ...\vert CA\vert^2+2\ \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AX_j}+\vert AX_j\vert^2)$$

$$= \vert AX_i\vert^2-\vert AX_j\vert^2$$

$$=$$ 0

car d'une part, les produits scalaires $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AX_i}$ et $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AX_j}$ sont nuls puisque $CA$ est orthogonal à $\alpha$ et d'autre part, $\vert AX_i\vert=\vert AX_j\vert$ puisque $A$ est le centre d'une sphère contenant $X_i$ et $X_j$.

La droite ${\mathcal D}$ perce le plan médiateur de $X_0$ et $X_{n+1}$ sinon $X_0X_{n+1}$ serait parallèle à $\alpha$ et $X_{n+1}$ ne formerait pas un simplexe avec les autres $X_i$. Le point de percée de ${\mathcal D}$ dans ce plan médiateur est équidistant de $X_0$ et $X_{n+1}$ mais aussi, vu ce qui précède, des autres $X_i$. C'est donc le centre d'une sphère contenant tous les $X_i$.$\qed$

Remarque 4.4.14   Il existe au plus une seule sphère contenant des points formant un simplexe. Cela est aisé à vérifier.