2.3.2 Droites et segments

Etant donné deux nombres $a<b$, tout nombre $x$ est combinaison affine $(1-\lambda) a+\lambda b$ de $a$ et de $b$ et s'écrit de manière unique sous cette forme. En effet, comme $a\ne b$, l'équation $(1-\lambda) a+\lambda b=x$ admet

$$\lambda = \frac{x-a}{b-a}$$

comme seule solution. De plus, $x<a$, $a \le x \le b$ et $x>b$ selon que $\lambda < 0$, $0 \le \lambda \le 1$ et $\lambda > 1$ respectivement.

Figure: La ``droite réelle" comme modèle des droites.

Par analogie, nous appellerons droite de ${\mathcal E}$ l'ensemble des combinaisons affines de deux points distincts de ${\mathcal E}$. Si $A, B$ sont distincts, on note $\mathcal D_{A,B}$, ou encore $AB$, la droite passant par $A$ et $B$, c'est-à-dire

$$AB=\{(1-\lambda) A+\lambda B \ \vert \ \lambda \in {\rm I\!R}\}.$$

De plus, nous apellerons segment de droite joignant A et B l'ensemble

$$\lbrack A, B \rbrack=\{(1-\lambda) A+\lambda B \ \vert \ 0 \le \lambda \le 1\}.$$

Proposition 2.3.2   Soient des points distincts $A, B$ de ${\mathcal E}$.

(i) $X \in AB$ si et seulement si $\overrightarrow{AX}$ est un multiple de $\overrightarrow{AB}$.

(ii) Si $P, Q \in AB$ sont distincts, alors $PQ = AB$.

Preuve. (i) En effet, $X=(1-\lambda) A+\lambda B$ si et seulement si $\overrightarrow{AX} = \lambda \overrightarrow{AB}$.

(ii) Il existe $r \ne s$ tels que $\overrightarrow{AP} = r \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AQ} = s \overrightarrow{AB}$. En particulier, $\overrightarrow{PQ} = (s-r) \overrightarrow{AB}$. Cela étant,

$$\overrightarrow{A((1-\mu) P+\mu Q)}=(1-\mu)\overrightarrow{AP}+\mu\overrightarrow{AQ}$$

est un multiple de $\overrightarrow{AB}$. Par conséquent, $PQ\subset AB$. De plus, $A,B \in PQ$ car

$$\overrightarrow{PA} = - \frac{r}{s-r}\overrightarrow{PQ}$$

et

$$\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}= \frac{1-r}{s-r}\overrightarrow{PQ}.$$

On a donc aussi $AB \subset PQ$.$\qed$

Vu (ii), deux droites distinctes ont au plus un point en commun. Quand elles en ont un, on dit qu'elles sont sécantes, ou qu'elles se coupent en ce point.