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2.3.2 Droites et segments

Etant donné deux nombres $ a<b$, tout nombre $ x$ est combinaison affine $ (1-\lambda) a+\lambda b$ de $ a$ et de $ b$ et s'écrit de manière unique sous cette forme. En effet, comme $ a\ne b$, l'équation $ (1-\lambda) a+\lambda b=x$ admet

$\displaystyle \lambda = \frac{x-a}{b-a}
$

comme seule solution. De plus, $ x<a$, $ a \le x \le b$ et $ x>b$ selon que $ \lambda < 0$, $ 0 \le \lambda \le 1$ et $ \lambda > 1$ respectivement.

Figure: La ``droite réelle" comme modèle des droites.
\includegraphics{FIG10.EPS}

Par analogie, nous appellerons droite de $ {\mathcal E}$ l'ensemble des combinaisons affines de deux points distincts de $ {\mathcal E}$. Si $ A, B$ sont distincts, on note $ \mathcal D_{A,B}$, ou encore $ AB$, la droite passant par $ A$ et $ B$, c'est-à-dire

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$\displaystyle AB=\{(1-\lambda) A+\lambda B \ \vert \ \lambda \in {\rm I\!R}\}.
$

De plus, nous apellerons segment de droite joignant A et B l'ensemble

$\displaystyle \lbrack A, B \rbrack=\{(1-\lambda) A+\lambda B \ \vert \ 0 \le \lambda \le 1\}.
$

Proposition 2.3.2   Soient des points distincts $ A, B$ de $ {\mathcal E}$.

(i) $ X \in AB$ si et seulement si $ \overrightarrow{AX}$ est un multiple de $ \overrightarrow{AB}$.

(ii) Si $ P, Q \in AB$ sont distincts, alors $ PQ = AB$.

Preuve. (i) En effet, $ X=(1-\lambda) A+\lambda B$ si et seulement si $ \overrightarrow{AX} = \lambda \overrightarrow{AB}$.

(ii) Il existe $ r \ne s$ tels que $ \overrightarrow{AP} = r \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{AQ} = s \overrightarrow{AB}$. En particulier, $ \overrightarrow{PQ} = (s-r) \overrightarrow{AB}$. Cela étant,

$\displaystyle \overrightarrow{A((1-\mu) P+\mu Q)}=(1-\mu)\overrightarrow{AP}+\mu\overrightarrow{AQ}
$

est un multiple de $ \overrightarrow{AB}$. Par conséquent, $ PQ\subset AB$. De plus, $ A,B \in PQ$ car

$\displaystyle \overrightarrow{PA} = - \frac{r}{s-r}\overrightarrow{PQ}
$

et

$\displaystyle \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}= \frac{1-r}{s-r}\overrightarrow{PQ}.
$

On a donc aussi $ AB \subset PQ$.$ \qed $


Vu (ii), deux droites distinctes ont au plus un point en commun. Quand elles en ont un, on dit qu'elles sont sécantes, ou qu'elles se coupent en ce point.


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2002-12-17