3.3.3.2 Produit vectoriel

La force agissant sur une particule électrique résultant d'un champ électromagnétique est donnée par

$$\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}+\frac{q}{c}{\bf v}\wedge\overrightarrow{H}.$$

Figure: Le champ magnétique incurve la trajectoire de la partiucule ($q>0$).

Dans cette expression, $q$ est la charge électrique de la particule, $c$ est la vitesse de la lumière, $\overrightarrow{E}$ est le champ éléctrique et $\overrightarrow{H}$ est le champ magnétique mesurés au point où se trouve la particule. Celle-ci est en mouvement et la contribution de $\overrightarrow{H}$ à la force dépend de sa vitesse ${\bf v}$. Cette dépendance est relativement compliquée. Elle s'exprime au moyen d'une nouvelle opération sur les vecteurs, le produit vectoriel $\wedge$. En voici la définition.

La règle des mineurs appliquée à la troisième colonne de (17) montre que $\lbrack{\bf u},{\bf v},{\bf w}\rbrack$ est le produit scalaire de ${\bf w}$ et du vecteur de composantes

$$(u_2v_3-u_3v_2,u_3v_1-u_1v_3,u_1v_2-u_2v_3).$$

Celui-ci ne dépend donc pas non plus de la base orthonormée positive utilisée: comme $\lbrack{\bf u},{\bf v},{\bf w}\rbrack$, il dépend seulement de l'orientation de $E$. On l'appelle produit vectoriel de ${\bf u}$ et de ${\bf v}$. On le note ${\bf u}\wedge{\bf v}$.

Proposition 3.3.5 (i)   Le produit vectoriel est linéaire par rapport à chacun de ses arguments.

(ii) Il est antisymétrique.

(iii) $\vert{\bf u}\wedge{\bf v}\vert=\vert{\bf u}\vert\vert{\bf v}\vert\sin {\varphi}$, où $\varphi$ est l'angle non orienté formé par ${\bf u}$ et ${\bf v}$. En particulier, ${\bf u}\wedge{\bf v}={\bf0}$ si et seulement si ${\bf u}$ et ${\bf v}$ sont linéairement dépendants.

(iv) Si ${\bf u}$ et ${\bf v}$ sont linéairement indépendants, alors $({\bf u},{\bf v},{\bf u}\wedge{\bf v})$ est une base positive de $E$.

(v) $\lbrack{\bf u},{\bf v},{\bf w}\rbrack=({\bf u}\wedge{\bf v}).{\bf w}$. En particulier, ${\bf u}\wedge{\bf v}$ est orthogonal à ${\bf u}$ et à ${\bf v}$.

Preuve. Les points (i), (ii) et (v) résultent immédiatement de la définition du produit vectoriel.

Il vient,

$$\vert{\bf u}\vert^2\vert{\bf v}\vert^2\sin ^2{\varphi} = \vert{\bf u}\vert^2\vert{\bf v}\vert^2-\vert{\bf u}.{\bf v}\vert^2$$

$$= (u_1^2+u_2^2+u_3^2)(v_1^2+v_2^2+v_3^2)-(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3)^2$$

$$= (u_2v_1-u_1v_2)^2+(u_2v_3-u_3v_2)^2+(u_3v_1-u_1v_3)^2.$$

On en déduit aussitôt (iii). Enfin,

$$\lbrack{\bf u},{\bf v},{\bf u}\wedge{\bf v}\rbrack=\vert{\bf u}\wedge{\bf v}\vert^2.$$

D'où (iv).$\qed$

Remarque 3.3.6   La propriété (iii) signifie que la longueur de ${\bf u}\wedge{\bf v}$ est l'aire du ``parallélogramme" construit sur ${\bf u}$ et ${\bf v}$, phrase qui prendra tout son sens quand les notions métriques auront été interprétées en géométrie affine. Dans le même ordre d'idée, la valeur absolue du produit mixte $\lbrack{\bf u},{\bf v},{\bf w}\rbrack$ est le volume du ``parallélépipède" construit sur ses trois arguments.

Revenant à l'expression de la force agissant sur une particule électrique, on voit par la propriété ci-dessus, que le champ magnétique contribue à modifier non seulement l'intensité mais aussi la direction de sa vitesse.

La propriété suivante est immédiate mais utile.

Proposition 3.3.7   Soit une base positive orthonormée $({\bf e}_1,{\bf e}_2,{\bf e}_3)$ . Si deux des indices $i$ et $j$ sont égaux, alors ${\bf e}_i\wedge{\bf e}_j$ est nul. Si les indices $i$, $j$, $k$ sont deux à deux distincts, alors ${\bf e}_i\wedge{\bf e}_j$ est égal à ${\bf e}_k$ si $(i,j,k)$ est une permutation circulaire de $(1,2,3)$ et à $-{\bf e}_k$ sinon.

Proposition 3.3.8   (Formules du double produit vectoriel) Pour tous ${\bf u}, {\bf v},{\bf w}\in E$, on a

$$% latex2html id marker 31458\begin{array}{ccc} {\bf u}\we... ...f u}.{\bf w})\ {\bf v}-({\bf v}.{\bf w})\ {\bf u}. \end{array}$$

Preuve. Démontrons la première formule, la seconde se vérifiant de façon analogue ou s'en déduisant par antisymétrie, au choix. On développe les deux membres selon une base orthonormée positive ${{\mathcal B}} =({\bf e}_1, {\bf e}_2, {\bf e}_3)$ de $E$. En utilisant la linéarité de la formule par rapport à ${\bf u}, {\bf v}$ et ${\bf w}$, on est ramené au cas où ceux-ci sont des éléments arbitraires de ${\mathcal B}$, c'est-à-dire à vérifier que

$${\bf e}_i \wedge ({\bf e}_j\wedge {\bf e}_k) = ({\bf e}_i.{\bf e}_k) {\bf e}_j - ({\bf e}_i.{\bf e}_j) {\bf e}_k$$

pour tous $i, j, k \in \{1,2,3\}$. Cela donne en principe $27$ vérifications mais en réfléchissant un peu, à l'aide de la proposition précédente, on réduit significativement le travail nécessaire. Lorsque $i, j, k$ sont tous distincts, les deux membres de l'égalité proposée sont nuls car ${\bf e}_j \wedge {\bf e}_k$ est alors $±{\bf e}_i$ tandis que ${\bf e}_i.{\bf e}_j ={\bf e}_i.{\bf e}_k = 0$. Même conclusion lorsque $j=k$, trivialement. Il reste donc à envisager les cas où $j \ne k$ et $i$ est égal à $j$ ou à $k$. On peut d'ailleurs se limiter à $i=j$, par antisymétrie en $j,k$. Ceci laisse finalement six cas:

$$(i,j,k)=(1,1,2), \ (1,1,3)$$

et ceux où $i=2$ ou $3$. La vérification est alors directe. Par exemple pour $(i,j,k)=(1,1,2)$, il vient immédiatement

$${\bf e}_1 \wedge ({\bf e}_1\wedge {\... ...3 =-{\bf e}_2 = ({\bf e}_1.{\bf e}_2){\bf e}_1-({\bf e}_1.{\bf e}_1){\bf e}_2.$$

D'où la propriété.$\qed$

Remarque 3.3.9   Il est utile de retenir les formules en français. Elles se lisent toutes les deux comme ceci: un double produit vectoriel est égal au vecteur du milieu multiplié par le produit scalaire des deux autres moins le produit de l'autre vecteur de la parenthèse et du produit scalaire des deux autres.

Proposition 3.3.10   Soient ${\bf a},{\bf b}\in E$. Si ${\bf a}\ne {\bf0}$, alors l'équation

$${\bf a}\wedge {\bf x}={\bf b}$$ (3.4)

a des solutions si et seulement si ${\bf a}.{\bf b}=0$. Lorsque ${\bf a}.{\bf b}= 0$, ses solutions sont données par

$${\bf x}= r \ {\bf a}- \frac{1}{\vert{\bf a}\vert^2}({\bf a}\wedge{\bf b})$$ (3.5)

où $r$ est un nombre arbitraire.

Preuve. En effet, si l'équation proposée admet une solution, alors en multipliant les deux membres de (18) vectoriellement par ${\bf a}$ et en développant le double produit vectoriel, il vient

$$({\bf a}.{\bf x}) \ {\bf a}-\vert{\bf a}\vert^2 \ {\bf x}= {\bf a}\wedge {\bf b}.$$

Donc, en supposant ${\bf a}\ne 0$,

$${\bf x}= \frac{{\bf a}.{\bf x}}{\ver... ...a}\vert^2} \ {\bf a}\ - \ \frac{1}{\vert{\bf a}\vert^2}({\bf a}\wedge {\bf b})$$

est de la forme (19).

Inversement, si ${\bf x}$ est donné par (19), alors

$${\bf a}\wedge {\bf x}={\bf a}\wedge ... ...\wedge {\bf b}) = - \frac{{\bf a}.{\bf b}}{\vert{\bf a}\vert^2}{\bf a}+{\bf b}$$

et ${\bf x}$ est une solution de (18) si et seulement si ${\bf a}.{\bf b}= 0$ (car ${\bf a}\ne {\bf0}$).$\qed$

Figure: Les solutions de l'équation ${\bf a}\wedge{\bf x}={\bf b}$.