2.8.1 La version ``aménagée"

Théorème 2.8.1   Soient des droites ${\mathcal A}_1$, ${\mathcal A}_2$, ${\mathcal A}_3$, ${\mathcal A}_1'$, ${\mathcal A}_2'$ et ${\mathcal A}_3'$ qui se coupent en un même point. On suppose que trois quelconques de ces droites ne sont jamais coplanaires. Les plans ${\mathcal A}_1{\mathcal A}_1'$, ${\mathcal A}_2{\mathcal A}_2'$ et ${\mathcal A}_3{\mathcal A}_3'$ ont une droite en commun si et seulement si les droites ${\mathcal A}_1{\mathcal A}_2\cap{\mathcal A}_1'{\mathcal A}_2'$, ${\mathcal A}_2{\mathcal A}_3\cap{\mathcal A}_2'{\mathcal A}_3'$ et ${\mathcal A}_3{\mathcal A}_1\cap{\mathcal A}_3'{\mathcal A}_1'$ sont coplanaires.

Preuve. Prenons un repère dont l'origine soit le point commun aux six droites et dont la base $({\bf e}_1,{\bf e}_2,{\bf e}_3)$ soit formée de vecteurs-directeurs de ${\mathcal A}_1$, ${\mathcal A}_2$ et ${\mathcal A}_3$ respectivement (ces droites n'étant pas coplanaires, des vecteurs-directeurs choisis sur chacune sont d'office linéairement indépendants). Notons ${\bf u}_i=(a_i,b_i,c_i), \ i=1,2,3$, les composantes de vecteurs-directeurs de ${\mathcal A}_1'$, ${\mathcal A}_2'$ et ${\mathcal A}_3'$. Les ${\bf u}_i$ sont linéairement indépendants (puisque les droites en question ne sont pas coplanaires). De plus, aucune de leurs composantes n'est nulle car sinon, l'un des ${\mathcal A}_i'$ serait dans le plan formé par deux des ${\mathcal A}_j$.

Les plans ${\mathcal A}_1{\mathcal A}_1'$, ${\mathcal A}_2{\mathcal A}_2'$ et ${\mathcal A}_3{\mathcal A}_3'$ admettent respectivement les équations cartésiennes (on note $x$, $y$, $z$ les coordonnées d'un point quelconque):

$$% latex2html id marker 30655\begin{array}{ccc} c_1y-b_1z&=&0,\\ c_2x-a_2z&=&0,\\ b_3x-a_3y&=&0. \end{array}$$

Ils ont une droite en commun si et seulement si

$$% latex2html id marker 30657\left\vert \begin{array}{ccc} ... ...\ b_3&-a_3&0 \end{array}\right\vert = a_3b_1c_2-a_2b_3c_1=0.$$

En effet, par le Corollaire 5.14, ceci exprime le fait que leurs sous-vectoriels directeurs ont une droite vectorielle en commun, ce qui suffit puisqu'ils passent déjà par un même point.

Par ailleurs, ${\mathcal A}_1{\mathcal A}_2\cap{\mathcal A}_1'{\mathcal A}_2'$ possède le vecteur-directeur de composantes

$$c_2{\bf u}_1-c_1{\bf u}_2=(c_2a_1-c_1a_2,c_2b_1-c_1b_2,0).$$

Pour ${\mathcal A}_2{\mathcal A}_3\cap{\mathcal A}_2'{\mathcal A}_3'$ et ${\mathcal A}_3{\mathcal A}_1\cap{\mathcal A}_3'{\mathcal A}_1'$, on obtient semblablement

$$a_3{\bf u}_2-a_2{\bf u}_3=(0,a_3b_2-a_2b_3,a_3c_2-a_2c_3)$$

et

$$b_1{\bf u}_3-b_3{\bf u}_1=(b_1a_3-b_3a_1,0,b_1c_3-b_3c_1).$$

Les trois droites sont donc coplanaires si et seulement si

$$% latex2html id marker 30671\left\vert \begin{array}{ccc} ... ...&c_1\\ a_2&b_2&c_2\\ a_3&b_3&c_3 \end{array}\right\vert=0.$$

Puisque les ${\bf u}_i$ sont linéairement indépendants,

$$% latex2html id marker 30675\left\vert \begin{array}{ccc} ... ...b_1&c_1\\ a_2&b_2&c_2\\ a_3&b_3&c_3 \end{array}\right\vert$$

n'est pas nul et la condition revient donc à

$$% latex2html id marker 30677\left\vert \begin{array}{ccc} ... ...\ -b_3&0&b_1 \end{array}\right\vert = a_3b_1c_2-a_2b_3c_1=0.$$

D'où la conclusion.$\qed$